Les ensembles 1 bac sm cours

Les ensembles 1 bac sm cours. C’est un cours complet sur les ensembles (1ère année bac sm)

Ensembles (Les ensembles 1 bac sm cours)

Vocabulaire et notations usuelles (Les ensembles 1 bac sm cours)

Définition 1

Un ensemble est une collection d’objets.

On peut définir un ensemble de deux manières :

• en extension : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent, par exemple E = {1, 2, 3} est l’ensemble contenant les trois éléments 1 , 2 et 3 . Il faut noter pour écrire un ensemble, on utilise conventionnellement des accolades et pas des parenthèses. Dans ce cas, l’ordre dans lequel on donne les éléments n’a aucune importance.

• en compréhension : on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l’ensemble. Par exemple, l’ensemble E des réels supérieurs ou égaux à 1 peut s’écrire E = {x ∈ ℝ, x ≥ 1}.

Appartenance 2

Quand un objet appartient à un ensemble, on dit que cet objet est élément de cet ensemble. Si x est élément d’un ensemble E, on écrit x ∈ E.

Ensemble vide 3

C’est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il se note ∅, ou aussi {} mais se note pas { ∅ }.

Singletons, paires 4

Un ensemble qui contient un et un seul élément s’appelle un singleton.

Un ensemble qui contient deux éléments (distincts) s’appelle une paire. La paire {a, b} est la paire {b, a}.

Sous-ensembles

Inclusion

Définition 5 (Sous-ensembles)

L’ensemble A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont des éléments de B (autrement dit x ∈ A ⇒ x ∈ B). On dit aussi que A est inclus dans B, on le note A ⊂ B.

Remarque 6

On peut dire aussi que A est une partie de B pour dire que A est un sous-ensemble de B.

Exemple 7

Si E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et F = {10, 2, 8} , alors : F ⊂ E.

Remarque 8

• Pour tout ensemble A, on a : ∅ ⊂ A, l’ensemble vide est une partie de A.

• Si A ⊂ B et B ⊂ C , alors A ⊂ C.

• A ⊂ A.

Egalité d’ensembles

Définition 9 (Egalités – d’ensembles)

Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, autrement dit si A ⊂ B et B ⊂ A.

Exemple 10

On considère l’ensemble

H = {(m, n) ∈ ℤ²/ mn + 2 − 3n = 7}

Écrire l’ensemble H en extension.

Exemple 11

On considère l’ensemble

A = {x ∈ ℤ/ x+1/2x+1 ∈ ℤ}

Écrire l’ensemble A en extension.

Ensemble des parties

Définition 12 (Ensemble des parties)

Soit A un ensemble, l’ensemble des parties de A, noté P(A), est l’ensemble des sous-ensembles de A.

Exemple 13

Si A = {1, 2, 3} alors P(A) = {∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3}}.

Opérations sur les ensembles

On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles.

Union et Intersection

Définition 14 (Union).

Soient A et B deux parties d’un ensembles E. L’union de A et de B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On le note A ∪ B.

A ∪ B = {x ∈ E/ x ∈ A ou x ∈ B}

Définition 15 (Intersection)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. L’intersection des parties A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A et dans B. On le note A ⋂ B.

A ⋂ B = {x ∈ E/ x ∈ A et x ∈ B}

Exemple 16

Si A = {2, 5, 7} et B = {1, 5, 7, 9}, alors : A ∪ B = {1, 2, 5, 7, 9} et A ⋂ B = {5, 7}.

Exemple 17

On considère les ensembles :

A = {2n+1/4 / n ∈ ℤ} et B = {5m+4/3 / m ∈ ℤ}

Montrer que : A ⋂ B ≠ ∅ et B ⋂ ℕ ≠ ∅.

• On suppose par l’absurde que : A ⋂ B ≠ ∅. Alors il existe x ∈ A ⋂ B tel que :

∃(n, m) ∈ ℤ², x = 2n+1/4 = 5m+4/3

donc

6n + 3 = 20m + 16 ⇒ 6n − 20m = 13 ⇒ 3n − 10m = 13/2 ∉ ℤ

ce qui est absurde car 3n − 10m ∈ ℤ. Donc

A ⋂ B = ∅

• On a : 3 ∈ B et 3 ∈ ℕ, alors : B ⋂ ℕ ≠ ∅.

Exemple 18

On considère les ensembles :

A = {x ∈ ℤ/ ∣x − 1∣ < 3/2} et B = {x ∈ ℕ/ 2x+3/2 ≤ 4}

Déterminons en extension A ⋂ B et A ∪ B.

Règles de calculs

Propriété 19

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

• A ⋂ B = B ⋂ A.
• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C.
• A ⋂ ∅ = ∅ et A ⋂ A = A.
• A ⋂ B ⊂ A et A ⋂ B ⊂ B.
• A ⊂ B ⇔ A ⋂ B = A.
• A ∪ B = B ∪ A.
• A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B.
• A ∪ ∅ = A et A ∪ A = A.
• A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.

Démonstration 20

Les démonstrations sont pour l’essentiel une reformulation des opérations logiques. On en démontre un exemple pour fournir un modèle de démonstration d’égalités ensemblistes.

x ∈ A ⋂ (B ⋂ C) ⇔ x ∈ A et x ∈ (B ⋂ C)

⇔ x ∈ A et (x ∈ B et x ∈ C)

⇔ (x ∈ A et x ∈ B) et x ∈ C

⇔ x ∈ (A ⋂ B) et x ∈ C

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ⋂ C

Propriété 21 (Lois de Morgan).

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

• A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

• A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Démonstration 22

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Montrons que : A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

Démontrons par équivalence.

x ∈ A ⋂ (B ∪ C) ⇔  x ∈ A et x ∈ (B ∪ C)

⇔ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C)

⇔ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C)

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ou x ∈ (A ⋂ C)

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C)

• Même démarche pour l’autre égalité.

On expose quelque exemple pour familiariser par les démonstrations ensemblistes

Exemple 23

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.

Montrer que :

{ A ⋂ B = A ⋂ C et A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C

On suppose que : A ⋂ B = A ⋂ C et A ∪ B = A ∪ C, et on montre que : B = C.

Soit x ∈ B, alors : x ∈ A ∪ B donc : x ∈ A ∪ C c’est-à-dire x ∈ A ou x ∈ C.

Cliquer ici pour télécharger Les ensembles 1 bac sm cours

Devoir surveillé sur les ensembles 1 bac sm

Exercice 1 (4 pts)

On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants : A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[.

1. Déterminer A ∖ B et B ∖ A, puis déduire A∆B.
2. Déterminer A ∩ C et A ∪ C, puis en déduire A∆C.
3. Déterminer (A ∖ B) ∩ C (le complémentaire de (A ∖ B) ∩ C de ℝ).

Exercice 2 (6 pts)

On considère les ensembles :

E = {π/6 + kπ/3 / k ∈ ℤ} et F = {π/3 + kπ/6 / k ∈ ℤ}

1. Déterminer E ∩ [− π/2, π].
2. Montrer que : E ⊂ F.
3. 1. Montrer que : π/3 ∉ E.
   2. L’inclusion F ⊂ E est-elle satisfaite ? Justifier

Exercice 3 (6 pts)

Déterminer en extension les ensembles :

F = { x ∈ ℤ/ 2x+1/x+1 ∈ ℤ} et C = {(x, y) ∈ (ℤ*)² / 1/x + 1/y = 1/5}

On considère les ensembles :

B = { x ∈ ℤ/ ∣x∣ < 3} , E = { x ∈ ℤ/ −5 < x ≤ 5} et A = E ∩ ℕ*

Déterminer en extension les ensembles suivants :

A ∩ B , C^(A∪B)_E , A ∖ B et ( A ∩ B ) ∩ C^(A∪B)_E

Exercice 4 (4 pts)

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E.

1. Montrer que : A⁻ ⊂ B⁻ ⇔  (A ∖ B) ∪ B = A.
2. Montrer que : A = B ⇔ (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = ∅.
3. Montrer que : A = ∅ ⇔ (A ∩ B⁻) ∪ (A⁻∩ B) = B.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les ensembles 1 bac sm

Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants :

A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[

1. ∎On cherche A ∖ B c’est-à-dire les éléments de ℝ qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.

Méthode 01

A ∖ B = ]−∞, 3] ∖ ]−2, 7] = ]−∞, −2]

Méthode 02

Cliquer ici pour télécharger la Correction du devoir surveillé

Vous pouvez aussi consulter :

• Les applications cours 1 bac sm
• Limites d’une fonction résumé 1 bac