Limites d'une fonction numérique 1 bac

Limites d’une fonction numérique 1 bac

Limites d’une fonction numérique 1 bac cours. (1ère s/ 1ère année bac)

Limite infinie d’une fonction numérique en +∞ ou en −∞. (Limites d’une fonction numérique 1 bac)

Activité d’introduction

Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ(x) = x2.

  1. Recopier et compléter le tableau suivant :
  2. Que remarque t-on pour les valeurs de ƒ(x) quant x prend des valeurs positives de plus en plus grandes ?

On constate de plus x devient grand. plus ƒ(x) prend des valeurs de plus en plus grandes. On dit que ”ƒ(x) tend vers +∞, lorsque x tend vers +∞. On dit que ” la limite de ƒ(x) quand x tend vers +∞ est égale à +∞ ” et on note :

limx→+∞ ƒ(x) = +∞ 

Définition 1 

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ où a. Si ƒ(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞, on écrit : limx→+∞ ƒ(x) = +∞.

Limites usuelles

∎ limx→+∞ x = +∞, limx→+∞ x2 = +∞, limx→+∞ x3 = +∞, limx→+∞ √x = +∞.

∎ limx→−∞ x = −∞, limx→−∞ x2 = +∞, limx→−∞ x3 = −∞, (∀n*) limx→+∞ xn = +∞.

∎ Si n est pair et n ≠ 0, alors limx→−∞ x = +∞

∎ Si n est impair, alors limx→−∞ xn = −∞.

Exemple 2

Calculer : limx→+∞ x7 , limx→+∞ x8 , limx→−∞ x5 , limx→−∞ x9 , limx→−∞ x6.

Limite finie d’une fonction en +∞ ou en −∞

Activité d’introduction

La figure au-dessous représente la courbe de la fonction ƒ dans un plan muni d’un repère orthonormé ( O , i , j ).

En utilisant la courbe de la fonction ƒ, que peut-on conclure quand x prend des valeurs de plus en plus grandes.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l′ quand x tend vers +∞.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l quand x tend vers −∞.

Définition 3

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ (où a ), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l quand x tend vers +∞, alors on note limx→+∞ ƒ(x) = l.

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme ]−∞, b] (où b), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l′ quand x tend vers −∞, alors on note limx→−∞ ƒ(x) = l′.

Limites usuelles

limn→+∞ 1/x = 0, limx→−∞ 1/x = 0, (∀n*) limn→+∞ 1/xn = 0, (∀n*) limx→−∞ 1/xn = 0

Propriété 4 (Admis)

Soit ƒ une fonction numérique et l un réel.

∎ Si ƒ admet une limite l en +∞ (ou en −∞), alors cette limite est unique.

∎ limx→+∞ ƒ(x) = l ⇔ limx→+∞ (ƒ(x) − l) = 0

∎ limx→−∞ ƒ(x) = l ⇔ limx→−∞ (ƒ(x) − l) = 0

Exemple 5

Montrer que : limx→−∞ −2x3+x/x3 = −2.

On pose : ƒ(x) = −2x3+x/x3x*.

Soit x*. On a : ƒ(x) − (−2) = −2x3+x/x3 + 2 = −2x3+x+2x3/x3 = x/x3 = 1/x2. Donc

limx→−∞ (ƒ(x) − (−2)) = limx→−∞ 1/x2 = 0

d’où limx→−∞ ƒ(x) = −2.

Exemple 6

La figure suivante représente la courbe d’une fonction définie sur *.

  1. Déterminer par lecture graphique , limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  2. Sachant que (Cƒ) est la courbe de la fonction { ƒ(x) = 2x+1/x; x > 0 et ƒ(x) = 1/x2; x < 0

Retrouver les résultats de 1ére question.

Limite finie et infinie d’une fonction en un point 

Limite finie d’une fonction en un point
Définition 7

Soit a et l deux nombres réels. Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme ]a − α, a + α[ où α ∈ ]0, +∞[. Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a, alors on note :

limx→a ƒ(x) = l

Propriété 8 (Admis)

Soit ƒ une fonction numérique, a et l deux réel. Si ƒ admet une limite l en a, alors cette limite est unique.

Exemple 9 (Limite usuelles).

limx→0 x = 0, limx→0 x2 = 0 , limx→0 x3 = 0

Exemple 10

Montrer que : limx→0 (x3 − √5/2) = − √5/2.

Soit x. On a : (x3 − √5/2) − (−√5/2) = x3, et comme limx→0 x3 = 0 donc

limx→0 (x3 − √5/2) = − √5/2.

Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point
Définition 11

Soit ƒ une fonction numérique. Soit a et l deux nombres réels.

∎ Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a à droite (c’est-à-dire x > 0), alors on note : limx→a x > a ƒ(x) = l ou limx→a+ ƒ(x).

∎ Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a à gauche (c’est-à-dire x < 0), alors on note : limx→a x < a ƒ(x) = l ou limx→a ƒ(x).

Exemple 12

La figure suivante représente la courbe d’une fonction définie sur *.

Déterminer par lecture graphique, limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).

Limites usuelles

∎ (∀n*) , limx→0+ 1/xn = +∞ , limx→0+ √x = 0 , limx→0+ 1/√x = +∞

∎ Si n est un nombre pair non nul, alors limx→0 1/xn = +∞.

∎ Si n est un nombre impair, alors limx→0 1/xn = −∞.

Théorème 13

Soit ƒ une fonction numérique.

limx→a ƒ(x) = l ⇔ (limx→a+ ƒ(x) = l = limx→a ƒ(x)).

Opérations sur les limites

On admet sans démonstration toutes les opérations suivantes.

Dans tout ce qui suit, a est un nombre réel ou +∞ ou −∞, l et l′ sont des réels.

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Limites d’une fonction numérique résumé 1 bac

Fonctions élémentaires

Limite en +∞ et −∞
Limite en 0
Exemple 1

Calculer la limite suivante : limx→−2 2x−1/x+2.

On détermine le signe de l’expression : x + 2

Comme : limx→−2 2x − 1 = −5. Donc, on déduit :

limx→−2x−2 2x−1/x+2 = −∞ et limx→−2x−2 2x−1/x+2 = +∞

Opérations sur les limites et formes indéterminée

Somme de fonctions
Produit de fonctions
Quotient de fonctions

Polynômes et fonctions rationnelles

Fonction polynôme
Règle 2

Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré.

Si P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0, alors limx→+∞ P(x) = limx→+∞ anxn et limx→−∞ P(x) = limx→−∞ anxn

Exemple 3
  • limx→+∞ x4 − 2x3 + x2 + x − 1 = limx→+∞ x4 = +∞ et limx→−∞ x4 − 2x3 + x2 + x − 1 = limx→−∞ x4 = +∞
  • limx→+∞ −3x2 − 2x − 1 = limx→+∞ −3x2 = −∞ et limx→−∞ −3x2 − 2x − 1 = limx→−∞ −3x2 = −∞

Fonction rationnelle

Règle 4

Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

ƒ(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0/bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 , alors :

limx→+∞ ƒ(x) = limx→+∞ anxn/bmxm et limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ anxn/bmxm

Exemple 5
  • limx→+∞ 3x−x2/x3+1 = limx→+∞ −x2/x3 = limx→+∞ −1/x = 0.
  • limx→−∞ (1−√2)x3+x2+1/2x2+1 = limx→−∞ (1−√2)x3/2x2 = limx→−∞ 1−√2/2 x = +∞, car : 1−√20.

Limite d’une fonction irrationnelle

Règle 6
  • Si limx→+∞ ƒ(x) = l0, alors : limx→+∞ƒ(x) = √l
  • Si limx→+∞ ƒ(x) = +∞, alors : limx→+∞ ƒ(x) = +∞
Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

limx→+∞ √x2+x+3 , limx→−∞ √x2+x+3 + 2x

  • On a : limx→+∞ x2 + x + 3 = limx→+∞ x2 = +∞. Donc : limx→+∞ √x2+x+3 = +∞.



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Devoir surveillé sur les limites d’une fonction

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

limx→0 x+sin2x/1−cosx , limx→π/3 sin(3x)/1−2cosx , limx→π/3 √3cosx−sinx/sin3x et limx→−π/3 cosx/1+sinx

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

limx→+∞ √x2+3x+mx (m) , limx→+∞ √x2n+1/x−1 −2x (n*)

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

{ƒ(x) = √x− √1+x2/2+x ; x0 et ƒ(x) = cosx√2+sinx/x ; x0

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x).
  2. Calculer limx→0+ƒ(x) et limx→0ƒ(x). Que peut-on conclure ?
    1. Montrer que : (∀x ∈ ]−∞, 0[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 1+√3/∣x
    2. Déduire limx→−∞ ƒ(x).
Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x1 et ƒ(x) = √1−x/2x2+x−3 si x1

  1. Montrer que : Dƒ = ]−∞, −3/2[⋃]−3/2, 1[⋃]1, +∞[
  2. Calculer : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  3. Calculer : limx→1+ ƒ(x) et limx→1 ƒ(x). Que peut-on conclure ?
  4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x1 = −3/2.
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Correction du devoir surveillé N1
Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

  • limx→0 x+sin2x/1−cosx = 0/0 (F.I)

limx→0 x+sin2x/1−cosx = limx→0 x2(1/x + sin2x/x2)/(1−cos2x/x2)×x2

= limx→0 1/x+(sinx/x)2/1−cos2x/x2

comme : limx→0 (sinx/x)2 = 1 et limx→0 1−cosx/x2 = 1/2, alors :

limx→0+ x+sin2x/1−cosx = +∞ et limx→0 x+sin2x/1−cosx = −

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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