par Devoir maison sur le calcul trigonométrique partie 2. (Tronc Commun Scientifique)
Exercice 1
On considère dans ℝ l’équation : (E) : tan x − sin x = 1 − tan x. sin x
- Déterminer D l’ensemble de définition de l’équation (E).
- Résoudre dans D l’équation (E).
Exercice 2
Résoudre dans [−π/2, π/2] l’équation : 2cos3x − cos2x − 2cosx + 1 = 0.
Exercice 3
Résoudre dans [0, π] l’inéquation : (I) : sin (2x − π/3) ≤ √3/2.
Exercice 4
On considère dans ℝ l’équation : (E) : 1−tanx/1+tanx = (cos x − sin x)2.
- Déterminer D l’ensemble de définition de l’équation (E).
- Montrer que : (E) ⇔ 1−tanx/1+tanx = (1−tanx)2/1+tan2x.
- Résoudre dans D l’équation (E).
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Correction du devoir maison sur le calcul trigonométrique partie 2
Exercice 1
On considère dans ℝ l’équation suivante : (E) : tan x − sin x = 1 − tan x. sin x
- L’équation (E) existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ / k ∈ ℤ, donc
D = ℝ∖ {π/2 + kπ / k ∈ ℤ}.
2. On résout dans D l’équation (E) :
Soit x ∈ D, on a
(E) ⇔ tan x − sin x + tan x. sin x − 1 = 0
⇔ tan x(1 + sin x) − (1 + sin x) = 0
⇔ (1 + sin x)(tan x − 1) = 0
⇔ 1 + sin x = 0 ou tan x − 1 = 0
⇔ sin x = − 1 ou tan x = 1
⇔ x = −π/2 + 2kπ ∉ D ou x = π/4 + kπ / k ∈ ℤ
donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est
S = {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}
Exercice 2
Résolvons dans [−π/2, π/2] l’équation : (E) : 2 cos3x − cos2x − 2cos x + 1 = 0
Soit x ∈ [−π/2, π/2].
(E) ⇔ 2cos x(cos2x − 1) − (cos2x − 1) = 0
⇔ (cos2x − 1)(2cos x − 1) = 0
⇔ cos2x − 1 = 0 ou 2cos x − 1 = 0
⇔ cos x = 1 ou cos x = −1 ou cos x = 1/2
⇔ x = 2kπ ou x = π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ
comme x ∈ [−π/2, π/2] alors x = 0 ou x = π/3 ou x = −π/3.
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) dans [−π/2, π/2] est
S = {−π/3, 0, π/3}
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