Devoir surveillé sur l’étude des fonctions terminale

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions terminale. (2 bac pc et svt/ Terminale)

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions

Durée 45min

Exercice 1

Soit θ ∈ [0, π] ,

ƒ_θ(x) = x³/2x²+4xcosθ+2

1. Déterminer D_ƒθ suivant les valeurs de θ.
   1. Calculer ƒ′_θ(x).
   2. Trouver θ pour que le signe de ƒ′_θ(x) soit constant.
2. On prend θ = 0.
   1. Calculer les limites de ƒ₀ aux bornes D_ƒ0 et poser le tableau de variations.
   2. Étudier les branches infinies et construire (C_ƒ0) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
3. On admet sans démonstration que (C_θ) et (C_π−θ) sont symétriques par rapport à l’origine.

Construire (C_π) dans le même repère orthonormé ( O , i , j ).

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Exercice 1

ƒ_θ(x) = x³/2x²+4xcosθ+2 , θ ∈ [0, π]

1. On détermine D_ƒθ suivant les valeurs de θ :

D_ƒθ = {x ∈ ℝ/ 2x² + 4x cosθ + 2 ≠ 0}

On résout dans ℝ l’équation : 2x² + 4x cosθ + 2 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = (4cosθ)² − 4 × 2 × 2 = 16cos²θ − 16 = 16(cos²θ − 1)

Soit θ ∈ [0, π] .

∣cos θ∣ ≤ 1

⇔ ∣cos θ∣² ≤ 1

⇔ ∣cos² θ∣ ≤ 1

⇔ −1 ≤ cos²θ ≤ 1

⇔ −2 ≤ cos²θ − 1 ≤ 0

Donc

(∀θ ∈ [0, π]) , cos²θ − 1 ≤ 0

• Si θ ∈ {0, π} alors : cos²θ − 1 = 0, c’est-à-dire : ∆ = 0.

L’équation admet une unique solution : x = −b/2a = −4cosθ/4 = − cos θ. Comme θ ∈ {0, π} alors x ∈ {−1, 1}.

• Si θ ∈ ]0, π[, alors : cos²θ − 1 < 0, c’est-à-dire : ∆ < 0.

L’équation n’admet aucune solution dans ℝ. Donc : D_ƒθ = ℝ.

Conclusion 2 :

• Si θ ∈ {0, π} , alors : D_ƒθ = ℝ ∖ {−1, 1}.
• Si θ ∈ ]0, π[ , alors : D_ƒθ = ℝ.

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