Devoir surveillé sur l'étude des fonctions terminale

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions terminale

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions terminale. (Bac/ Terminale)

Exercice 1

Soit θ ∈ [0, π] ,

ƒθ(x) = x3/2x2+4xcosθ+2

  1. Déterminer Dƒθ suivant les valeurs de θ.
    1. Calculer ƒ′θ(x).
    2. Trouver θ pour que le signe de ƒ′θ(x) soit constant.
  2. On prend θ = 0.
    1. Calculer les limites de ƒ0 aux bornes Dƒ0 et poser le tableau de variations.
    2. Étudier les branches infinies et construire (Cƒ0) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  3. On admet sans démonstration que (Cθ) et (Cπ−θ) sont symétriques par rapport à l’origine.

Construire (Cπ) dans le même repère orthonormé ( O , i , j ).

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Exercice 1

ƒθ(x) = x3/2x2+4xcosθ+2 , θ ∈ [0, π]

  1. On détermine Dƒθ suivant les valeurs de θ :

Dƒθ = {x/ 2x2 + 4x cosθ + 2 ≠ 0}

On résout dans l’équation : 2x2 + 4x cosθ + 2 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = (4cosθ)2 − 4 × 2 × 2 = 16cos2θ − 16 = 16(cos2θ − 1)

Soit θ ∈ [0, π] .

∣cos θ∣ ≤ 1

⇔ ∣cos θ2 1

⇔ ∣cos2 θ∣ ≤ 1

−1 ≤ cos2θ 1

−2 ≤ cos2θ − 10

Donc

(∀θ ∈ [0, π]) , cos2θ − 1 0

  • Si θ ∈ {0, π} alors : cos2θ − 1 = 0, c’est-à-dire : ∆ = 0.

L’équation admet une unique solution : x = −b/2a = −4cosθ/4 = − cos θ. Comme θ ∈ {0, π} alors x ∈ {−1, 1}.

  • Si θ ∈ ]0, π[, alors : cos2θ − 1 < 0, c’est-à-dire : ∆ < 0.

L’équation n’admet aucune solution dans . Donc : Dƒθ = .

Conclusion 2 :

  • Si θ ∈ {0, π} , alors : Dƒθ = ∖ {−1, 1}.
  • Si θ ∈ ]0, π[ , alors : Dƒθ = .
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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