Devoir sur les limites et continuité et la dérivation

Devoir surveillé sur les limites et continuité et la dérivation. (2ème année bac)

Exercice 1 (Devoir sur les limites et continuité et la dérivation)

(Questions indépendantes)

1. Montrer que la fonction h définie par : {h(x) = ∛5x−2−2/x−2 ; x ≠ 2 et h(2) = 5/12 est continue en 2.
2. Calculer la limite : lim_x→+∞ √x²+4x − x.
3. Donner l’ordre croissante des nombres suivantes : a = 2 ; b = ∛9 ; c = √3 ; d = ⁶√80
4. Résoudre l’équation : x^5/3 = 2
5. Montrer que : ⁸√64 ×2^−1/2×⁶√72/∜8×3^−2/3 = 3

Exercice 2

1. La courbe C_ƒ de la page annexe est celle d’une fonction ƒ définie, dérivable et strictement décroissante sur I = [0, +∞[

Par lecture graphique et à l’aide des renseignements fournis déterminer :

a. ƒ(0) ; ƒ(1) ; (ƒoƒ)(1) et lim_x→+∞.

b. ƒ’_d(0) et ƒ'(1).

c. Une équation cartésienne de T.

d. Le tableau de variations de ƒ.

2. a. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻⁴ définie sur un intervalle J que l’on précisera.

b. Déterminer ƒ⁻¹(0) puis calculer (ƒ⁻¹)'(0).

3. La fonction ƒ représentée à pour expression ƒ(x) = 3−3x²/1+3x² , pour x ∈ I.

Montrer que ƒ'(x) = −24x/(1+3x²)² (∀ x ∈ I)

4. Soit g la fonction définie sur I par g(x) = ƒ(x) − x.

a. Calculer g‘(x) et justifier que g‘(x) < 0 pour tout x ∈ I.

b. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans I = [0; +∞[ une unique solution α.

c. Montrer que α ∈ ]1/2, 1[

5. a. Tracer dans le meme repère la courbe (C‘) de ƒ⁻¹.

b. Par lecture graphique, ƒ⁻¹(x) est-elle dérivable à gauche en 3 ?

6. Déterminer l’expression de ƒ⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 2

1. La courbe (C_ƒ) de la fonction ƒ définie, dérivable et strictement décroissante sur [0, +∞[.

a) On a : ƒ(0) = 3 , ƒ(1) = 0 et (ƒoƒ)(1) = ƒ(0) = 3.

Au voisinage de +∞ (c’est-à-dire quand x tend vers + ∞)

On remarque que (C_ƒ) se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = − 1 donc ƒ(x) se rapproche de plus en plus du nombre −1 d’où lim_x→+∞ ƒ(x) = −1.

b) Déterminons : ƒ‘_d(0) et ƒ'(1).

La courbe (C_ƒ) admet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s’annule c’est-à-dire ƒ‘_d(0) = 0.

On a ƒ'(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C_ƒ) au point d’abscisse 1 donc ƒ'(1) = 3/−1 = −3.

c) Une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C_ƒ) au point d’abscisse 1 est : y = ƒ'(1)(x − 1) + ƒ(1) et comme { ƒ'(1) = −3 et ƒ(1) = 0 donc (T) : y = −3x + 3.

d) La fonction ƒ est strictement décroissante sur [0, +∞[ donc

2. a) Montrons que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ :

La fonction ƒ est continue et strictement décroissante sur [0, +∞[ alors elle admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur J = ƒ(I).

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