La dérivation terminale s cours

Dans le vaste domaine des mathématiques, la dérivation occupe une place prépondérante et exerce une influence profonde sur notre compréhension du changement et de la variation. En terminale, cet outil puissant du calcul différentiel ouvre une porte vers un monde fascinant où les fonctions se métamorphosent sous nos yeux, révélant leurs secrets les plus profonds. Du mouvement des planètes aux fluctuations économiques, en passant par l’analyse des phénomènes naturels, la dérivation se révèle être un compagnon indispensable pour appréhender les mécanismes du monde qui nous entoure. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.

La dérivation terminale s cours

1. Rappels sur la dérivation

1.1 Formules de dérivation

Proposition 1. (équation de la tangente en un point)

On considère une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère ( O, i , j ). Une équation de la tangente à (C_ƒ) au point d’abscisse a est : y = ƒ′(a)(x − a) + ƒ(a)

Exemple 2. On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = 3x² + x.

On a : (∀x ∈ ℝ), ƒ′(x) = 6x + 1, et { ƒ(−1) = 2 et ƒ′(−1) = −5

Une équation de la tangente au point d’abscisse −1 est donc y = −5(x −(−1)) + 2 par suite

(T) : y = −5x − 3.

Proposition 2. Soit une fonction ƒ définie et dérivable sur un intervalle I.

• Si ƒ′(x) ≤ 0, alors ƒ est décroissante sur I.
• Si ƒ′(x) ≥ 0, alors ƒ est croissante sur I.

Exemple 3. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x³ + 9/2x² − 12x + 5

1. Calculer ƒ′(x) pour tout x ∈ ℝ.
2. Déterminer le signe de ƒ′(x), puis dresser le tableau de variations de ƒ.

∎ On a (∀x ∈ ℝ), ƒ′(x) = 3x² + 9x − 12.

∎ On commence par résoudre l’équation ƒ′(x) = 0.

Le discriminant du trinôme 3x²+9x−12 est égal à ∆ = 225 donc l’équation possède deux solutions : x₁ = −9−√225/2×3 = −4 et x₂ = −9+√225/2×3 = 1. Comme a = 3 > 0 donc (…)

Proposition 3. On considère une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I et un réel a de l’intervalle I.

1. Si ƒ′ s’annule en a changeant de signe alors la fonction ƒ possède un extremum local en a.
2. Si ƒ possède un extremum local en a alors ƒ′(a) = 0.

2. Nouvelles formules

2.1 Dérivée de √u

Proposition 4. On considère une fonction u dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

La fonction ƒ définie pour tous réel x de l’intervalle I par ƒ(x) = √u(x) est dérivable sur l’intervalle I et ƒ′(x) = u′(x)/2√u(x) pour tous réels x de l’intervalle I.

Démonstration. On considère deux réels a et h tels que a et a + h appartiennent tous les deux à I.

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