Notion de limite d’une fonction terminale s cours

Les mathématiques, telles qu’elles sont, renferment un monde mystérieux et fascinant, où les concepts abstraits s’entrelacent pour révéler la beauté de l’univers quantitatif. Parmi ces concepts fondamentaux, les limites de fonctions jouent un rôle primordial dans l’exploration du comportement des fonctions à mesure qu’elles se rapprochent de points spécifiques. Alors que les limites de fonctions dans leur ensemble sont étudiées en profondeur, dans cet article, nous nous concentrerons sur un aspect particulièrement intrigant : les limites de fonctions pour terminale s.

Notion de limite d’une fonction terminale s cours

Limite infinie d’une fonction numérique en +∞ ou en −∞

Activité d’introduction

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x².

1. Recopier et compléter le tableau suivant :
2. Que remarque-t-on pour les valeurs de ƒ(x) quant x prend des valeurs positives de plus en plus grandes ?

On constate de plus x devient grand. Plus ƒ(x) prend des valeurs de plus en plus grandes. On dit que  »ƒ(x) tend vers +∞, lorsque x tend vers +∞. On dit que  » la limite de ƒ(x) quand x tend vers +∞ est égale à +∞  » et on note :

lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞ 

Définition 1 

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ où a ∈ ℝ. Si ƒ(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞, on écrit : lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞.

Limites usuelles

∎ lim_x→+∞ x = +∞, lim_x→+∞ x² = +∞, lim_x→+∞ x³ = +∞, lim_x→+∞ √x = +∞.

∎ lim_x→−∞ x = −∞, lim_x→−∞ x² = +∞, lim_x→−∞ x³ = −∞, (∀n ∈ ℕ*) lim_x→+∞ xⁿ = +∞.

∎ Si n est pair et n ≠ 0, alors lim_x→−∞ x = +∞

∎ Si n est impair, alors lim_x→−∞ xⁿ = −∞.

Exemple 2

Calculer : lim_x→+∞ x⁷ , lim_x→+∞ x⁸ , lim_x→−∞ x⁵ , lim_x→−∞ x⁹ , lim_x→−∞ x⁶.

Limite finie d’une fonction en +∞ ou en −∞

Activité d’introduction

La figure au-dessous représente la courbe de la fonction ƒ dans un plan muni d’un repère orthonormé ( O , i , j ).

En utilisant la courbe de la fonction ƒ, que peut-on conclure quand x prend des valeurs de plus en plus grandes.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l′ quand x tend vers +∞.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l quand x tend vers −∞.

Définition 3

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ (où a ∈ ℝ), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l quand x tend vers +∞, alors on note lim_x→+∞ ƒ(x) = l.

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme ]−∞, b] (où b ∈ ℝ), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l′ quand x tend vers −∞, alors on note lim_x→−∞ ƒ(x) = l′.

Limites usuelles

lim_n→+∞ 1/x = 0, lim_x→−∞ 1/x = 0, (∀n ∈ ℕ*) lim_n→+∞ 1/xⁿ = 0, (∀n ∈ ℕ*) lim_x→−∞ 1/xⁿ = 0

Cliquer ici pour télécharger Notion de limite d’une fonction terminale s cours