par Bienvenue dans ce cours captivant sur les suites en Terminale S ! Les suites sont bien plus que de simples séquences d’éléments numériques. Elles sont des instruments puissants pour comprendre et modéliser des phénomènes dynamiques qui se déroulent dans le temps, dans l’espace ou même dans le monde abstrait des nombres. Des séquences régulières des pas d’un danseur à l’évolution de populations biologiques complexes, les suites offrent un aperçu profond des structures sous-jacentes qui régissent le changement et la progression. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.
Les suites terminale s cours
1. Raisonnement par récurrence
1.1 Effet domino
Le raisonnement par récurrence repose sur le même principe que la théorie des dominos :
On considère une suite de dominos. Si un domino tombe alors le suivant tombera.
Comme le 1er tombe alors le second tombera, puis le troisième etc . . …
Le raisonnement par récurrence comporte deux phases :
- Prouver que le premier domino tombe.
- Démontrer que si le nième domino tombe alors le suivant (le n+1 ième domino) tombera. . .
Si on démontre ces deux points alors la réaction en chaîne se déclenche et tous les dominos tomberont ! !
Transposons cet effet domino à une propriété mathématique.
Soit la suite (un)n∈ℕ définie par : u0 = 0, 4 et (∀n ∈ ℕ), un+1 = 1/2un + 1/2.
Soit la propriété : (∀n ∈ ℕ), 0 < un < 1.
∎ Le premier domino tombe :
u0 = 0, 4 donc 0 < u0 < 1. La propriété est amorcée.
∎ Si l’un des dominos tombe le suivant tombe également
0 < un < 1 ⇒×1/2 0 < 1/2un < 1/2 ⇒+1/2 1/2 < 1/2un + 1/2 < 1
On a ainsi 0 < 1/2 < un+1 < 1. La propriété se propage.
Comme le premier domino est tombé et que les autres tombent par propagation, tous les dominos tombent et donc la propriété est bien vérifiée pour tout entier naturel.
1.2 Axiome de récurrence
Pour démontrer qu’une proposition (Pn) est vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à un entier naturel n0 fixé on procède en trois étapes :
- Première étape : On vérifie que (Pn0) est vraie. C’est-à-dire que la proposition est vraie pour le premier indice n = n0.
- Deuxième étape : On suppose que pour un entier quelconque (n ≥ n0), la proposition (Pn) est vraie, et sous cette hypothèse, dite de récurrence, on démontre qu’alors la proposition (Pn+1) est vraie. On dit alors que la proposition est héréditaire.
- Troisième étape : Lorsque les deux étapes ont été réalisées, on conclut que la proposition (Pn) est vraie pour tout entier naturel n (n ≥ n0).
Exemple 1. Démontrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ*), 2n > n.
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