Combinatoire et Dénombrement terminale s cours

Bienvenue dans ce cours passionnant sur la Combinatoire et le Dénombrement. La Combinatoire est une branche captivante des mathématiques qui explore l’art de compter, d’organiser et de sélectionner des objets d’une manière systématique. Cette discipline nous permet de résoudre des énigmes complexes liées aux possibilités, aux arrangements et aux choix, tout en ouvrant la voie à des applications concrètes dans divers domaines, de la recherche mathématique aux sciences, en passant par la technologie et la vie quotidienne. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.

Combinatoire et Dénombrement terminale s cours

1. Ensemble fini

Définition 1. :

1. Un ensemble E est fini lorsqu’il admet un nombre fini d’éléments.
2. Le nombre d’éléments de E est appelé le cardinal de l’ensemble et il est noté : card (E) ou ∣E∣.
3. Dénombrer, c’est compter le nombre d’éléments que contient un ensemble fini, c’est-à-dire en déterminer le cardinal.

Exemple 1. :

1. L’ensemble E des joueurs d’une équipe de foot est un ensemble fini. Alors card (E) = 11.
2. L’ensemble ℕ des entiers naturels n’est pas un ensemble fini.

Définition 2. On dit que deux ensembles sont disjoints, s’ils ont aucun éléments en commun.

Proposition 1. Soient E et F deux ensembles finis.

1. card (E ⋃ F) = card (E) + card (F) − card (E ⋂ F).
2. Si E et F sont disjoints alors : card (E ⋃ F) = card (E) + card (F).

(a) Si (X_i)_1≤i≤n est une famille d’ensemble disjoints deux à deux alors

card ( ⋃ⁿ_i=1 Xi) = ∑ⁿ_i=1 card (X_i)

3. Si E ⊂ F alors : card (E) ≤ card (F) et card (F \ E) = card (F) − card (E).

2. Principe Fondamental du dénombrement (Principe du Produit)

2.1 Introduction

On lance dans l’air une pièce de monnaie 3 fois successives. Quel est le nombre total de cas possibles ?

• Le premier lancer dispose de 2 possibilités.
• Le deuxième lancer dispose de 2 possibilités.
• Le troisième lancer dispose de 2 possibilités.

∎ Donc le nombre total de cas possibles est : N = 2 × 2 × 2 = 8.

Proposition 2. (Principe du produit)

On considère une expérience aléatoire formée de deux choix, si le 1er choix offre n₁ possibilités et le 2ème choix offre n₂ possibilités, alors le nombre de choix total est :

N = n₁ × n₂.

Remarque 1. Le principe du produit se généralise à une expérience aléatoire formée de p choix avec p ≥ 2. Dans ce cas le nombre de choix total est : N = n₁ ×n₂ ×…×n_p.

Exemple 2. De combien de manières peut-on garer 4 voitures dans 6 places vides dans un parking ?

• Pour la 1ère voiture on dispose de 6 possibilités
• Pour la 2ème il en reste 5, pour la 3ème il en reste 4 et pour la 4ème il en reste 3.

∎ D’après le principe du produit le total des possibilités pour garer les 4 voitures est : N = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

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