par Bienvenue dans ce cours captivant sur la Convexité, un concept mathématique essentiel qui trouve des applications profondes dans de nombreux domaines, de l’optimisation à la géométrie en passant par l’économie et la physique. La convexité est une notion fondamentale qui repose sur des principes simples mais puissants, et elle est une composante clé de votre programme de mathématiques en Terminale S. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.
Convexité terminale s cours
1. Fonction Convexe – Fonction Concave
1.1 Définition
Définition 1. Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et (Cƒ) sa courbe représentative.
- La fonction ƒ est convexe sur I si sa courbe (Cƒ) est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
- La fonction ƒ est concave sur I si sa courbe (Cƒ) est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.
1.2 Propriétés
Proposition 1 :
- La fonction carré x → x2 est convexe sur ℝ.
- La fonction cube x → x3 est concave sur ]−∞, 0] et convexe sur [0, +∞[.
- La fonction inverse x → 1/x est concave sur ]−∞, 0[ et convexe sur ]0, +∞[.
- La fonction racine carrée x → √x est concave sur [0, +∞[.
Démonstration. Admis
Proposition 2 :
- Une fonction ƒ est convexe sur un intervalle I, si et seulement si, la dérivée ƒ′ est croissante sur I.
- Une fonction ƒ est concave sur un intervalle I, si et seulement si, la dérivée ƒ′ est décroissante sur I.
Démonstration. Admis
Remarque 1. L’étude de la convexité se ramène donc à l’étude des variations de ƒ′. Si ƒ′ est dérivable on a donc est amené a étudier le signe la dérivée de ƒ′. Cette dérivée s’appelle la dérivée seconde de ƒ et se note ƒ″.
Proposition 3. Soit f une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I.
- Pour que la courbe (Cƒ) de ƒ soit convexe sur I, si et seulement si : (∀x ∈ I), ƒ″(x) ≥ 0.
- Pour que la courbe (Cƒ) de ƒ soit concave sur I, si et seulement si : (∀x ∈ I), ƒ″(x) ≤ 0.
Exemple 1. Soit ƒ la fonction exponentielle définie sur ℝ par : ƒ (x) = ex.
La fonction ƒ et 2 fois dérivable sur ℝ.
On a : (∀x ∈ ℝ), ƒ′(x) = ex et (∀x ∈ ℝ), ƒ″(x) = ex > 0. Donc ƒ est une fonction convexe sur ℝ.
Exemple 2. Soit ƒ la fonction logarithme népérien définie sur ]0, +∞[ par : ƒ (x) = lnx.
Cliquer ici pour télécharger Convexité terminale s cours en pdf
