Continuité des Fonctions terminale s cours

Les mathématiques sont souvent considérées comme l’une des langues universelles de la science, permettant de décoder les lois fondamentales qui régissent notre monde. Au cœur de cette discipline, la notion de continuité des fonctions joue un rôle essentiel. Elle nous permet de comprendre comment les fonctions se comportent localement et globalement, et d’appréhender certains phénomènes fondamentaux qui sous-tendent de nombreux domaines scientifiques.

Ce cours complet sur la continuité des fonctions en Terminale S vous permettra de développer une solide compréhension de cette notion fondamentale, une compétence essentielle pour les études mathématiques supérieures, ainsi que pour la modélisation et l’analyse de problèmes réels dans de nombreux domaines scientifiques. Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.

Continuité des Fonctions terminale s cours

1. Notion et continuité

Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d’une fonction.

1.1 Définition

Définition 1. On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l’intervalle I se fait sans lever le crayon.

Remarque 1. Cette définition est une moyenne de se représenter la continuité mais cela ne constitue en rien une définition rigoureuse de cette dernière.

Reconnaître graphiquement une fonction continue

Exemple 1. ƒ est une fonction définie sur l’intervalle [−2, 2] dont la courbe (C_ƒ) est représentée ci-dessous :

Définition 2. Soit une fonction ƒ définie sur un intervalle I contenant un réel a.

1. ƒ est continue en a si : lim_x→aƒ(x) = ƒ(a).
2. ƒ est continue sur I si ƒ est continue en tout point de I.

Remarque 2. Dans certains exercices, il faudra calculer la limite à droite et la limite à gauche de la fonction puis vérifier que ces deux limites valent ƒ(a).

1.2 Lien entre dérivabilité et continuité

Proposition 1. Si une fonction ƒ est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur cet intervalle.

Remarque 3. La réciproque est bien évidemment fausse : toutes les fonctions continues sur un intervalle ne sont pas toujours dérivables.

1.3 Continuité des fonctions usuelles

Les fonctions suivantes sont continues sur l’intervalle donné.

1.4 Opérations sur les fonctions continues

Proposition 2. ƒ et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I.

1. ƒ + g, ƒ × g , ƒⁿ(n ∈ ℕ) et e^ƒ sont continues sur I.
2. Si g ne s’annule pas sur I, alors ƒ/g est continue sur I.
3. Si ƒ est positive sur I, alors √ƒ est continue sur I.

Exemple 3. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : { ƒ(x) = 2x² + 3 si x < −1 et ƒ(x) = x² + 4 si −1 ≤ x < 1 et ƒ(x) = x² − 5 si x ≥ 1

Etudier la continuité de ƒ sur ℝ.

∎ La fonction x → 2x² + 3 est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle ]−∞, −1[.

∎ La fonction x → x² + 4 est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle [−1, 1[.

∎ La fonction x → x² − 5 est continue sur ℝ, donc ƒ est continue sur l’intervalle [1, +∞[.

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