Fonction logarithme népérien terminale s cours

Le monde des mathématiques s’ouvre devant vous avec des concepts puissants et passionnants qui jouent un rôle essentiel dans la compréhension et la résolution de problèmes complexes. Dans notre périple mathématique d’aujourd’hui, nous allons explorer en profondeur un outil mathématique particulièrement précieux : le logarithme népérien.

Bienvenue dans votre cours sur la fonction logarithme népérien en terminale S ! Nous avons également rendu cette leçon disponible en téléchargement au format PDF, afin que vous puissiez l’étudier à votre rythme et vous y référer ultérieurement.

Fonction logarithme népérien terminale s cours

1. La fonction logarithme népérien

1.1 Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ. On sait de plus que : lim_x→−∞ e^x = 0 et lim_x→+∞ e^x = +∞. Par conséquent d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), pour tous réels b strictement positifs, il existe un unique réel a tel que : e^a = b.

Définition 1. On appelle logarithme népérien d’un réel strictement positif a, l’unique solution de l’équation e^x = a. On la note ln a.

La fonction logarithme népérien notée ln, est la fonction définie sur ]0, +∞[, par x → ln x.

Remarque 1. On dit alors que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les courbes représentant la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

La définition de la fonction logarithme népérien permet de fournir la propriété suivante.

Proposition 1 :

1. La fonction ln est définie et continue sur ]0, +∞[.
2. (∀x ∈ ℝ), ln (e^x) = x
3. ln 1 = 0 et ln e = 1
4. (∀x > 0) , e^lnx = x.

2. Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 1. On considère deux réels a et b strictement positifs.

ln (a × b) = lna + lnb

Démonstration. On sait que pour tous réels a et b strictement positifs on a :

e^lna = a , e^lnb = b et e^ln(ab) = ab

Ainsi a × b = ab ⇔ e^lna × e^lnb = e^ln(ab).

D’après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle on a e^lna × e^lnb = e^lna+lnb.

Par suite

e^lna+lnb = e^ln(ab)

donc ln (a × b) = lna + lnb.

2.2 Conséquences

Corollaire 1. Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :

1. ln(1/x) = −lnx
2. ln(x/y) = lnx − lny
3. ln(xⁿ) = nlnx , avec n entier relatif.
4. ln(√x) = 1/2lnx.

Démonstration :

On considère un réel x strictement positif, on a 1/x × x = 1, donc d’après la propriété précédente, on a (…)

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