Bienvenue dans le cours de Calcul Numérique pour les étudiants en première année de Bac Lettres et Sciences Humaines. Ce cours a été conçu pour répondre aux besoins spécifiques de ceux d’entre vous qui, bien que passionnés par les domaines des lettres et des sciences humaines, reconnaissent l’importance croissante des compétences en mathématiques dans le monde d’aujourd’hui.
Le calcul numérique 1 bac lettres et sciences humaines cours
1. Rappel
Exemple 1. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
(E1) : x + 4 = 0, (E2) : 3x − 9 = 6 ,(E3) : (x − 1) (x + 2) = 0,(E4) : (x + 4) (3x − 9) = 0
Exemple 2. Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
(I1) : 3x + 7 ≥ 0, (I2) : −2x + 4 < 0 ,(I3) : (x − 1) (x + 2) ≤ 0
2. Equations de deuxième degré à une inconnue
2.1 Définition et propriété
Définition 1. Une équation du second degré est une équation de la forme ax2+bx+c = 0 avec a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Exemple 3. L’équation 4x2 − 5x + 7 = 0 est une équation du second degré.
Définition 2. On appelle discriminant du trinôme ax2+bx+c, le nombre ∆ = b2−4ac.
Proposition 1. Soit ∆ le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
si ∆ < 0 l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle.
si ∆ = 0 l’équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution x0 =−b/2a.
si ∆ > 0 l’équation ax2 +bx+c = 0 a deux solutions distinctes : x1 = −b−√∆/2a et x2 = −b+√∆/2a
Exemple 4. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
(E1) :3x2 + x + 2 = 0 , (E2) : x2 − 10x + 25 = 0, (E3) : x2 − 3x + 2 = 0
Remarque 1.
- A chaque fois que b = 0 ou c = 0, il est inutile d’utiliser le discriminant ∆ et les formules associées.
- Lorsqu’on peut factoriser le trinôme, on ne calcule pas le discriminant, on factorise puis on annule chaque facteur.
Exemple 5. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
(E1) : 4x2 − 25 = 0 , (E2) : 9x2 − 6x + 1 = 0.
Exercice 1. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
(E1) :−2x2 + 2x − 1 = 0 , (E2) : 3x2 − 4x + 3 = 0, (E3) : x2 + x − 2 = 0.
(E4) : x2 + 6x − 9 = 0 , (E5) : 2x2 + 3x − 2 = 0, (E6) : x2 + 5x + 6 = 0
3. Factorisation – Signe du trinôme ax2 + bx + c
3.1 Factorisation du trinôme ax2 + bx + c
Proposition 2. Lorsque le trinôme P (x) = ax2 + bx + c admet :
deux racines x1 et x2, alors : P (x) = a (x − x1) (x − x2)
admet une racine x0, alors : P (x) = a (x − x0)2
n’admet pas de racine, il ne peut pas se factoriser.
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