par Suites numériques 1ère s cours pdf.(Première spé)
Suite numérique (Suites numériques 1ère s cours pdf)
Définition d’une suite numérique
Définition 1
Une suite numérique est une ,, succession ,, de nombre réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite.
A un rang donné n, on associe un nombre réel un.
(un) : ℕ → ℝ
n → un
un est appelé le terme général de la suite (un).
Remarque 2
Il arrive qu’une suite ne soit pas définie sur tout ℕ, on dit alors que la suite est définie à partir du rang.
Exemple 3
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
un = 2n−1/n+1
Calculons les trois premiers termes de la suite (un)n∈ℕ :
u0 = −1, u1 = 1/2 et u2 = 1
Définir une suite (Suites numériques 1ère s pdf)
De façon explicité
Définition 4
Une suite (un)n∈ℕ est définie de façon explicite si le terme général un s’exprime en fonction de n.
un = ƒ(n) , ∀n ∈ ℕ
Exemple 5
Soit la suite numérique (un)n∈ℕ telle que :
un = 3n +5
par exemple : u10 = 3 × 10 + 5 = 35.
Par récurrence (Suites numériques 1ère s pdf)
Définition 6
Lorsque le terme général un dépend du ou des terme(s) précèdent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).
- La suite est dite récurrente à un terme si un ne dépend que du terme précèdent. Cette suite est alors définie par :
{u0 et un+1 = ƒ(un)
- La suite est dite récurrente à deux termes si un dépend des deux termes qui le précèdent.
Cette suite est alors définie par :
{u0 , u1 et un+2 = ƒ(un, un+1)
La fonction ƒ ainsi définie s’appelle la fonction associée à la suite (un)n∈ℕ .
Exemple 7
- On donne la suite (un)n∈ℕ définie par :
{u0 = 2 et un+1 = 3un − 2
Déterminer u1, u2, u3 et u4.
u1 = 3u0 − 2 = 3 × 2 − 2 = 4
u2 = 3u1 − 2 = 3 × 4 − 2 = 10
u3 = 3u2 − 2 = 3 × 10 − 2 = 28
u4 = 3u3 − 2 = 3 × 28 − 2 = 82
- On donne la suite (vn)n∈ℕ définie par :
{v0 = 2 , v1 = 1 et vn+2 = vn+1 + vn
Déterminer v2, v3 et v4.
v2 = v1 + v0 = 2 + 1 = 3
v3 = v2 + v1 = 3 + 1 = 4
v4 = v3 + v2 = 4 + 3 = 7
Sens de variations (Suites numériques 1ère s pdf)
Définition 8
Soit (un)n∈ℕ une suite numérique.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est croissante si pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≥ un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est décroissante si pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≤ un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est constante ou stationnaire si pour tout n ∈ ℕ, un+1 = un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est monotone si la suite (un)n∈ℕ est croissante ou décroissante.
Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de un+1 − un.
- Si cette différence est positive, pour tout n ∈ ℕ, la suite sera croissante.
- Si la différence est négative, pour tout n ∈ ℕ, la suite sera décroissante.
Si (un)n∈ℕ est strictement positive, étudier la position de un+1/un par rapport à 1.
- Si ce rapport est supérieur à 1 pour tout n ∈ ℕ, la suite sera croissante.
- Si le rapport est inférieur à 1 pour tout n ∈ ℕ, la suite sera décroissante.
Exemple 9
- On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par : un = 5n−3/2n+7 .
Soit n ∈ ℕ.
un+1 − un = 5(n+1)−3/2(n+1)+7 − 5n−3/2n+7
= 5n+5−3/2n+2+7 − 5n−3/2n+7
= 5n+2/2n+9 − 5n−3/2n+7
= (5n+2)(2n+7)−(5n−3)(2n+9)/(2n+9)(2n+7)
= 41/(2n+9)(2n+7)
comme 41/(2n+9)(2n+7) ≻ 0 pour tout n ∈ ℕ. Ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est strictement croissante.
- On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ définie par : vn = 23n/32n.
Tous les termes de la suite sont strictement positifs.
Soit n ∈ ℕ.
vn+1/vn = 23(n+1)/32(n+1)/23n/32n
= 23(n+1)/32(n+1) × 32n/23n
= 23n × 23/32n×32 × 32n/23n
= 8/9
comme 8/9 < 1 pour tout n ∈ ℕ. Ceci signifie que la suite (vn)n∈ℕ est strictement décroissante.
Suites arithmétiques (Suites numériques 1ère s pdf)
Définition des suites arithmétiques
Définition 10
Soit (un)n∈ℕ une suite numérique.
- La suite (un)n∈ℕ est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout entier n ∈ ℕ, un+1 = un + r.
- Le nombre r s’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n∈ℕ.
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 11
Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors :
(∀n ∈ ℕ) , un+1 − un = r
Exemple 12
Montrer que la suite (un)n∈ℕ définie par : un = 2n +3 est arithmétique.
On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques :
un+1 − un = 2(n + 1) + 3 − (2n + 3)
= 2
donc
(∀n ∈ ℕ) , un+1 − un = 2
Ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 3.
Expression du terme général en fonction de n
Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence :
(∀n ∈ ℕ) , un+1 = un + r
On exprime directement un en fonction de n.
Théorème 13
Soit (un)n∈ℕ une suite arithmétique de raison r.
∎
(∀n ∈ ℕ) , un = u0 + nr
∎
∀(n, p) ∈ ℕ2, un = up + (n − p)r
Démonstration 14
∎ Soit (un)n∈ℕ une suite arithmétique de raison r.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 + nr .
- u0 + 0 × r = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0.
- Soit n ∈ ℕ. Supposons que un = u0 + nr et montrons que un+1 = u0 + (n + 1)r.
un+1 = un + r (d’après la définition de la suite arithmétique)
= u0 + nr + r
= u0 + (n + 1)r
- D’après le principe de récurrence on déduit que
(∀n ∈ ℕ) , un = u0 + nr
∎ Soient n et p deux entiers naturels. un = u0 + nr et up = u0 + pr. Donc
un − up = (u0 + nr) − (u0 + pr) = nr − pr = (n − p)r
donc
un = up + (n − p)r
Exemple 15
Considérons la suite arithmétique (un)n∈ℕ tel que : u5 = 7 et u9 = 19.
- Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un)n∈ℕ .
- Exprimer un en fonction de n.
- On exprime u9 en fonction de u5, on a alors :
u9 = u5 + (9 − 5)r ⇔ 19 = 7 + 4r ⇔ 12 = 4r ⇔ r = 12/4 = 3.
On peut alors trouver u0.
u5 = u0 + 3 × 5 ⇔ u0 = 7 − 15 = − 8
- un en fonction de n :
un = 3n − 8
Exercice 16 .
Soit (un)n∈ℕ la suite définie par :
{ u0 = 1 et (∀n ∈ ℕ), un+1 = 4/4−un
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 ≤ un ≤ 2.
- Pour tout entier naturel n, on pose :
vn = 1/un−2
a) Montrer que la suite (vn)n∈ℕ est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.
b) Déterminer vn en fonction de n.
c) En déduire un en fonction de n.
Sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Théorème 17
Pour tout entier naturel non nul n.
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
Démonstration 18
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.
∎ 1(1+1)/2 = 1, donc l’égalité est vraie pour n = 1.
∎ Soit n ∈ ℕ*. Supposons que 1 + 2 + 3 + … + n = (n + 1)/2 et montrons que :
1 + 2 + 3 + … + n + 1 = (n + 1)(n + 2)/2
Alors
1 + 2 + 3 + … + n + 1 = (1 + 2 + 3 + … + n)hypothèse de récurrence + n + 1
= n(n + 1)/2 + n + 1
= (n + 1)(n + 2)/2
∎ Donc d’après le principe de récurrence on déduit que pour tout entier naturel non nul
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
Théorème 19 (Admis)
Soit (uk)k∈ℕ une suite arithmétique. Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p.
∑nk=p uk = up + up+1 + … + un
= (premier terme + dernier terme) × (nombre de termes)/2
= (up + un)(n − p + 1)/2
Exemple 20
Calculer les sommes suivantes :
∑67k=33 k , ∑nk=1 (2k − 1) avec (n ∈ ℕ*) et ∑nk=0 (3k + 2) avec (n ∈ ℕ).
∎
∑67k=33 k = 33 + 34 + 35 + … + 67
= (33 + 67)×(67 − 33 + 1)/2
= 1750
∎ Soit n ∈ ℕ*.
∑nk=1 (2k − 1) = 1 + 3 + 5 + … + 2n − 1
= (1 + (2n − 1))×n/2
= n2
∎ Soit n ∈ ℕ.
∑nk=0 (3k + 2) = 2 + 5 + 8 + 11 + … + 3n + 2
= (2 + 3n + 2)×(n + 1)/2
= (3n + 4)(n + 1)/2
Suites géométriques
Définition des suites géométriques
Définition 21
Soit (un)n∈ℕ une suite numérique .
∎ La suite (un)n∈ℕ est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q × un.
∎ Le nombre q s’appelle alors la raison de la suite géométrique (un)n∈ℕ .
Comment reconnait-on une suite géométrique
Propriété 22
Une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs est constant. On a alors :
(∀n ∈ ℕ) , un+1/un = q
Exemple 23
Soit (un)n∈ℕ la suite définie par :
un = 3 × 2n
Montrer que la suite (un)n∈ℕ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
∎ Soit n ∈ ℕ. un ≠ 0 ensuite
un+1/un = 3×2n+1/3×2n = 2
donc
(∀n ∈ ℕ) , un+1/un = 2
On en déduit que la suite (un)n∈ℕ est une suite géométrique de raison 2. Son premier terme est u0 = 3.
Expression du terme général en fonction de n
Théorème 24
Soit (un)n∈ℕ une suite géométrique de raison q ≠ 0.
∎
(∀n ∈ ℕ) , un = u0 × qn
∎
∀(n, p) ∈ ℕ2 , un = up × qn−p
Démonstration 25
∎ Soit (un)n∈ℕ une suite géométrique de raison non nulle q.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 × qn.
- Puisque q ≠ 0, q0 = 1 puis q0 = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0.
- Soit n ∈ ℕ. Supposons que un = u0 × qn et montrons que : un+1 = u0 × qn+1.
un+1 = un × q
= u0 × qn × q
= u0 × qn+1
- D’après le principe de récurrence on déduit que pour tout entier naturel n, un = u0 × qn.
∎ Soient n et p deux entiers naturels.
un = u0 × qn et up = u0 × qp
- Si u0 = 0, on a un = up = 0, alors : un = up × qn−p.
- Si u0 ≠ 0, alors up ≠ 0. On peut écrire
un/up = u0×qn/u0×qp = qn/qp = qn−p
donc
∀(n, p) ∈ ℕ2 , un = up × qn−p
Exemple 26
Soit une suite (un)n∈ℕ géométrique de raison q. On donne : u7 = 4374 et u5 = 486. Trouver la raison q et le premier terme u0 et u10 sachant que la raison est positive.
∎ On exprime u5 en fonction de u7, on a alors :
u7 = q7−5 × u5 ⇔ 4374 = q2 × 486 ⇔ q2 = 4374/486 = 9 ⇔ q = 3 ou q = − 3
On obtient les deux solutions : q = 3 ou q = −3. Comme la raison est positive, q = 3.
∎ On peut alors trouver u0.
u5 = q5 × u0 ⇔ 486 = 35 × u0 ⇔ u0 = 486/243 = 2
∎ On peut alors trouver u10.
u10 = q10−7 × u7
= q3 × 4374
= 23 × 4374
= 118098
Exercice 27
Soit (un)n∈ℕ la suite définie par :
{ u0 = − 1 (∀n ∈ ℕ) , un+1 = 3un − 4
Pour tout entier naturel n, on pose :
un = un − 2
- Montrer que la suite (vn)n∈ℕ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
- Déterminer vn en fonction de n.
- En déduire un en fonction de n.
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème 28
n est un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 alors on a :
1 + q + q2 + q3 + … + qn = 1−qn+1/1−q
Démonstration 29
On note
S = 1 + q + q2 + q3 + … + qn
et
q × S = q + q2 + q3 + q4 + … + qn+1
Ainsi :
S − q × S = (1 + q + q2 + q3 + … + qn) − (q + q2 + q3 + q4 + … + qn+1)
= 1 − qn+1
donc
S = 1−qn+1/1−q
Théorème 30
Soit (un)n∈ℕ une suite géométrique de raison q ≠ 1. Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p.
∑nk=p uk = up + up+1 + … + un
= (premier terme) × 1−qnombre termes/1−q
= up × 1−qn−p+1/1−q
Démonstration 31
Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p. Comme q ≠ 1,
∑nk=p uk = up + up+1 + … + un =qn−p×up
= up + up+1 + … + up × qn−p
= up(1 + q + q2 + q3 + … + qn−p)
= up × 1−qn−p+1/1−q
Exemple 32
Calculer les sommes suivantes :
∑10k=10 2k et ∑nk=1 5/3k avec (n ∈ ℕ*)
Limite d’une suite
Seule une approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples est exigible en première.
Convergence d’une suite
Définition 33
On dit que la suite (un)n∈ℕ a pour limite l si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors :
limn→+∞ un = l
On dit que la suite converge vers l.
Conséquence
Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par :
un = 1/n, vn = 1/n2 et tn = 1/√n ont pour limite 0.
Divergence d’une suite
Définition 34
On dit que la suite (un)n∈ℕ a pour limite +∞ (resp. −∞) si, et seulement si, tout intervalle ]A; +∞[ (resp. ]−∞; B[) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors : limn→+∞ un = +∞ resp. limn→+∞ un = −∞. On dit que la suite diverge vers +∞ (resp. −∞).
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