Les polynômes exercices corrigés tronc commun

Les polynômes exercices corrigés tronc commun. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Les polynômes exercices corrigés tronc commun)

On considère les deux polynômes P(x) et Q(x) tels que :

P(x) = (ax + b)(x² + 3x − √5) et Q(x) = x³ + 2x² − (3 + √5)x + √5

Déterminer a et b pour que les polynômes soient égaux.

Exercice 2 (Les polynômes exercices corrigés tronc commun)

Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel m, le degré du polynôme P(x) définie par :

P(x) = (m² − m)x³ + mx² + x + 2

Exercice 3

On considère le polynôme : P(x) = x³ − mx² − 5x + 6 (m est un paramètre réel).

Déterminer la valeur de m pour que le polynôme P(x) soit divisible par (x − 1).

Exercice 4

Soit P(x) le polynôme défini par : P(x) = 2x³ + 5x² − x − 6.

1. Montrer que −2 est une racine du polynôme P(x).
2. Déterminer le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 2).Q(x)
3. Montrer que le polynôme Q(x) est divisible par x − 1, puis factoriser le polynôme Q(x).
4. Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré égal à 1.

Exercice 5

On considère le polynôme définie par : P(x) = 2x⁴ − 9x³ + 14x² − 9x + 2

1. Vérifier que 0 n’est pas une racine du polynôme P(x).
2. Montrer que si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.
   1. Montrer que 2 est une racine du polynôme P(x).
   2. En effectuant la division euclidienne du polynôme P(x) par x − 2, déterminer le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2)Q(x).
   3. Déduire que : Q(1/2) = 0.
   1. Déterminer les réels a, b et c tels que : Q(x) = (x − 1/2)(ax² + bx + c).
   2. Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 4 polynômes de degré égal à 1.

Exercice 6

On considère le polynôme P(x) = 2x³ + 3x² + ax − b tels que a et b deux réels.

1. Déterminer a et b pour que les conditions suivantes soient vérifiées :

∎ Le polynôme P(x) est divisible par (x − 2).

∎ Le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1) est −12.

2. On prend : a = −11 et b = 6.

a) Effectuer la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 2).

b) Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré égal à 1.

Exercice 7

On considère le polynôme : P(x) = x³ − 3x + 2.

1. Calculer P(1) puis déduire un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 1)Q(x).
2. Vérifier que : P(x) = (x + 2)(x − 1)².

Encadrer α + 2 et (α − 1)², puis déduire que : 0 < P(α)/4 < 1.

Exercice 8

On considère le polynôme : P(x) = −6x⁴ + 5x³ + 38x² + 5x − 6.

1. Vérifier que 3 et −1/2 sont deux racines du polynôme P(x).
2. Montrer que si a est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/a.
3. Déduire les racines du polynôme P(x).

Exercice 9

Soit n ∈ ℕ*. Soit le polynôme : P(x) = (x − 2)³ⁿ + (x − 1)²ⁿ − 1.

1. Montrer l’existence d’un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2)Q(x). et déterminer le degré de Q(x).
2. Calculer P(1) en fonction de n, puis déterminer les valeurs de n pour lesquelles le polynôme P(x) soit divisible par x − 1.

Exercice 10

On considère les deux polynômes :

P(x) = x³ − 6x + 5 et Q(x) = x³ + (m − 1)x² − (m + 2)x + (3 − m). (m est un paramètre réel).

1. Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne du polynôme Q(x) par (x − 1).
2. Déterminer m sachant que P(x) + Q(x) est divisible par (x − 1).

Exercice 11

On considère le polynôme P(x) = nxⁿ⁺¹ − (n + 1)xⁿ + 1.

1. Montrer que 1 est une racine du polynôme P(x).
2. Montrer que : P(x) = (x − 1)(nxⁿ − xⁿ⁻¹ − xⁿ⁻² …−1)
3. Montrer que : P(2) = 2ⁿ(n − 1) + 1.
4. Déterminer la valeur de la somme S = 2 + 2² + … + 2ⁿ.

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Correction de la série 

Exercice 1

On considère les deux polynômes P(x) et Q(x) tels que :

P(x) = (ax + b)(x² + 3x − √5) et Q(x) = x³ + 2x² − (3 + √5)x + √5

On cherche a et b :

P(x) = Q(x) éq : (ax + b)(x² + 3x − √5) = x³ + 2x² − (3 + √5)x + √5

On écrit le polynôme P(x) sous la forme réduite.

P(x) = (ax + b)(x² + 3x − √5)

= ax³ + 3ax² − a√5x + bx² + 3bx − b√5

= ax³ + (3a + b)x² + (−a√5 + 3b)x − b√5

donc

P(x) = Q(x)

éq : ax³ + (3a + b)x² + (−a√5 + 3b)x − b√5 = x³ + 2x² − (3 + √5)x + √5

Exercice 2

On considère le polynôme P(x) = (m² − m)x³ + mx² + x + 2.

On cherche le degré de P(x) suivant les valeurs de m :

∎ Si m² − m ≠ 0, alors

m² − m ≠ 0 éq : m(m − 1) ≠ 0 éq : m ≠ 0 et m − 1 ≠ 0 éq : m ≠ 0 et m ≠ 1

Donc si m ≠ 0 et m ≠ 1 alors le degré du polynôme P(x) est 3.

∎ Si m = 0 alors le degré du polynôme P(x) est 1.

∎ Si m = 1 alors le degré du polynôme P(x) est 2.

Exercice 3

On considère le polynôme : P(x) = x² − mx² − 5x + 6 (m est un paramètre réel).

On cherche m

Soit m ∈ ℝ.

Le polynôme P(x) est divisible par (x − 1) si et seulement si le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x − 1) est nul c’est-à-dire P(1) = 0.

Donc

P(1) = 0 éq : 1 − m − 5 + 6 = 0 éq : m = 2

D’où le polynôme P(x) est divisible par (x − 1) si et seulement si m = 2.

Exercice 4

Soit P(x) le polynôme définie par : P(x) = 2x³ + 5x² − x − 6.

1. Montrons que − 2 est une racine du polynôme P(x).

Calculons P(−2).

On a

P(−2) = 2 × (−2)³ + 5 × (−2)² − (−2) − 6 = 0

donc − 2 est une racine du polynôme P(x).

2. On cherche le polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 2).Q(x).

On a 2 est une racine du polynôme P(x), donc le polynôme P(x) est divisible par x − 2, et on déduit qu’il existe un polynôme Q(x) tel que :

P(x) = (x − 2)Q(x)

On a deg (P(x)) = 3 donc le degré du polynôme Q(x) est 2, d’où Q(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Donc

P(x) = (x + 2)(ax² + bx + c)

= ax³ + bx² + cx + 2ax² + 2bx + 2c

= ax³ + (b + 2a)x² + (c + 2b)x + 2c

et comme P(x) = 2x³ + 5x² − x − 6, alors d’après l’égalité de deux polynômes on obtient

donc Q(x) = 2x² + x − 3 d’où

P(x) = (x + 2)(2x² + x − 3)

3. ∎ Montrons que Q(x) est divisible par x − 1.

On a Q(1) = 2 + 1 − 3 = 0. Donc 1 est une racine du polynôme Q(x). D’où le polynôme Q(x) est divisible par x − 1, et on déduit qu’il existe un polynôme R(x) tel que :

Q(x) = (x − 1). R(x)

∎ On factorise le polynôme Q(x) :

On a le degré du polynôme P(x) est 2 donc le degré du polynôme R(x) est 1.

D’où R(x) = ax + b avec a ≠ 0. Donc

Q(x) = (x − 1)(ax + b)

= ax² + bx − ax − b

= ax² + (b − a)x − b

et comme Q(x) = 2x² + x − 3, alors d’après l’égalité de deux polynômes on obtient

{ a = 2 et b − a = 1 et −b = −3 éq : { a = 2 et b = 1 + 2 et b = 3 éq : { a = 2 et b = 3

donc R(x) = 2x + 3, d’où

Q(x) = (x − 1)(2x + 3)

4. On déduit une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré 1.

On a Q(x) = (x − 1)(2x + 3) et comme P(x) = (x + 2)Q(x) donc

P(x) = (x + 2)(x − 1)(2x + 3)

Exercice 5

On considère le polynôme défini par P(x) = 2x⁴ − 9x³ + 14x² − 9x + 2

1. Vérifions que 0 n’est pas une racine du polynôme P(x) :

Calculons P(0) :

P(0) = 2 × 0 − 9 × 0 + 14 × 0 − 9 × 0 + 2 = 2 ≠ 0

donc 0 n’est pas une racine du polynôme P(x).

2. Montrons que si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.

On suppose que α est une racine du polynôme P(x), montrons que 1/α est une racine du polynôme P(x) :

On a α est une racine du polynôme P(x) avec α ≠ 0 (car 0 n’est pas une racine de P(x)).

Ceci signifie que :

P(α) = 0 éq : 2α⁴ − 9α³ + 14α² − 9α + 2 = 0

On a

P(1/α) = 2(1/α)⁴ − 9(1/α)³ + 14(1/α)² − 9 × 1/α + 2

= 2/α⁴ − 9/α³ + 14/α² − 9/α + 2

= 2−9α+14α²−9α³+2α⁴/α⁴

= 0/α⁴

= 0

donc 1/α est une racine du polynôme P(x). D’où si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.

3. a) Montrons que 2 est une racine du polynôme P(x).

Calculons P(2) :

P(2) = 2 × (2)⁴ − 9 × (2)³ + 14 × (2)² − 9 × 2 + 2

= 32 − 72 + 56 − 18 + 2

= 0

donc 2 est une racine du polynôme P(x).

b) En effectuant la division euclidienne du polynôme P(x) par x − 2, on obtient le polynôme Q(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1. Donc

P(x) = (x − 2).Q(x)

c) On déduit que : Q(1/2) = 0.

On a P(x) = (x − 2).Q(x) donc

P(1/2) = (1/2 − 2). Q(1/2) (*)

on sait que 2 est une racine du polynôme P(x) alors d’après la question 2/ on obtient que 1/2 soit aussi racine du polynôme P(x). C’est-à-dire P(1/2) = 0 donc

d’après (*) on obtient

(1/2 − 2). Q(1/2) = 0

éq : −3/2. Q(1/2) = 0

éq : Q(1/2) = 0

Donc Q(1/2) = 0.

4. a) On cherche a, b et c tels que : Q(x) = (x − 1/2)(ax² + bx + c)

On a

Q(x) = (x − 1/2)(ax² + bx + c) = ax³ + (b − 1/2a)x² + (c − 1/2b)x − 1/2c

et comme Q(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1, d’après l’égalité de deux polynômes on obtient le système suivant

Donc

Q(x) = (x − 1/2)(2x² − 4x + 2)

b) On déduit une factorisation du polynôme P(x) :

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