Les applications cours 1 bac sm

Les applications cours 1 bac sm. (1ère année bac sm)

Généralités sur les applications (Les applications cours 1 bac sm)

Définition d’une application

Définition 1

Soit ƒ une fonction d’un ensemble non vide E vers un ensemble non vide F.

ƒ est une application de E vers F si et seulement si tout élément de l’ensemble de départ E a une et une seule image dans l’ensemble d’arrivée F par ƒ.

Avec des quantificateurs, cela donne

Soit ƒ une fonction d’un ensemble E vers un ensemble F.

ƒ application ⇔  (∀x ∈ E) , ((∃!y ∈ F) / y = ƒ(x))

Remarque 2

L’ensemble des applications de E vers F se note A(E, F) ou plus fréquemment F^E.

Égalité de deux application (Les applications cours 1 bac sm)

Définition 3

Deux applications ƒ, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, ƒ(x) = g(x). On note alors ƒ = g.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application

Image directe

Définition 4

Soient E et F eux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit A une partie de E. L’image directe de la partie A par l’application ƒ. notée ƒ(A), est l’ensemble des images des éléments de A par ƒ.

ƒ(A) = {ƒ(x), x ∈ A}.

Avec des quanticateurs, cela donne :

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ F^E. Soit A ⊂ E.

(∀y ∈ F) , ∀y ∈ ƒ(A) ⇔  ∃x ∈ A/ y = ƒ(x)

Exemple 5

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : ℝ →  ℝ

x →  x² + 2x

Montrer que : ƒ([−1, 1]) = [−1, 3].

On montre les doubles inclusions.

• ⊂) Soit y ∈ ƒ([−1, 1]) , il existe x de [−1, 1] tel que ƒ(x) = y.

On a :

ƒ(x) = x² + 2x = (x² + 2x + 1) − 1 = (x + 1)² − 1

comme −1 ≤ x ≤ 1, alors : 0 ≤ x + 1 ≤ 2, donc : −1 ≤ (x + 1)² − 1 ≤ 3.

Donc : y ∈ [−1, 3] , c’est-à-dire : ƒ([−1, 1]) ⊂ [−1, 3].

• ⊃) Soit y ∈ [−1, 3]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [−1, 1] .

Soit x ∈ [−1, 1].

ƒ(x) = y ⇔ x² + 2x = y

⇔ (x + 1)² = y + 1

⇔ x + 1 = √y+1 , x + 1 ≥ 0 et y + 1 ≥ 0

⇔ x = √y+1 − 1

comme y ∈ [−1, 3], alors : −1 ≤ √y+1 − 1 ≤ 1, d’où : y ∈ ƒ([−1, 1]). Ce qui signifie que : [−1, 3] ⊂ ƒ([−1, 1]).

Finalement :

ƒ([−1, 1]) = [−1, 3]

Exemple 6

On considère deux ensembles non vides E et F . Soit ƒ : E → F une application.

Soient A et B deux éléments de P(E).

Montrer que si A ⊂ B alors ƒ(A) ⊂ ƒ(B).

• Soit y ∈ ƒ(A) , il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x).

Puisque A ⊂ B, on a x ∈ B donc ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire : y ∈ ƒ(B) . Donc :

ƒ(A) ⊂ ƒ(B)

Théorème 7

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

1. ∀(A, B) ∈ (P(E))² , ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
2. ∀(A, B) ∈ (P(E))² , ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Démonstration 8

1. On procède par double inclusion.

• Soit y ∈ ƒ(A ∪ B), il existe x ∈ A ∪ B tel que y = ƒ(x).

Si x ∈ A alors y ∈ ƒ(A). Si x ∉ A, c’est alors que x ∈ B et donc y ∈ ƒ(B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B).

• Soit y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B). Si y ∈ ƒ(A), alors il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x). Mais alors x ∈ A ∪ B et donc y ∈ ƒ(A ∪ B).

Si y ∉ ƒ(A), alors y est nécessairement dans ƒ(B) et il existe x ∈ B tel que y = ƒ(x). Or dans ce cas, on a aussi x ∈ A ∪ B et de fait y ∈ ƒ(A ∪ B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A ∪ B). D’où

ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)

2. Soit y ∈ ƒ(A ∩ B), alors il existe x ∈ A ∩ B tel que y = ƒ(x).

Comme x ∈ A ∩ B, alors x ∈ A ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(A), c’est-à-dire y ∈ ƒ(A).

De même x ∈ B, ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire y ∈ ƒ(B).

Donc y ∈ ƒ(A) et y ∈ ƒ(B), alors y ∈ ƒ(A) ∩ƒ(B). D’où

ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Image réciproque

Définition 9

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit B une partie de F. L’image réciproque de la partie B par l’application ƒ, notée ƒ⁻¹(B), est l’ensemble des antécédentes des éléments de B par ƒ.

ƒ⁻¹(B) = {x ∈ E/ ƒ(x) ∈ B}

Avec des quantificateurs, cela donne

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ F^E . Soit B ⊂ F.

(∀x ∈ E), x ∈ ƒ⁻¹(B) ⇔ ƒ(x) ∈ B

Exemple 10

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : ℝ → ℝ

x → 2x/x²+1

Montrer que : ƒ⁻¹([−1, 1]) = ℝ.

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Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm

Exercice 1

1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x → 2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)².

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ⁻¹.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : ℝ → ℝ

x →  2x/x²+1

1. 1. Vérifier que : (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
   2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?

Exercice 3

1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0 ≤ √x/√x+√1−x ≤ 1.
2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x → √x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ⁻¹ sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de ℝ dans ℝ*₊ .

ƒ(x) = 1/x²−2x+2

1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
2. Montrer que : ƒ(ℝ) = ]0, 1].
3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2

⇔ x + 1 ≤ 2√x+1 ≤ x + 2

⇔ (x + 1)² ≤ (2√x+1)²≤ (x + 2)² 

⇔ (x + 1)² − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)² − (2√x+1)²

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x²

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

2. On considère l’application suivante :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites d’une fonction résumé 1 bac
• Les suites numériques 1 bac exercices corrigés