par La droite dans le plan tronc commun. (1ère année lycée/tronc commun scientifique/seconde)
Coordonnées d’un point-coordonnées d’un vecteur (la droite dans le plan tronc commun)
Repère du plan (la droite dans le plan tronc commun)
Définition 1
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O , I , J). Le point O est l’origine du repère, la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses, la droite (OJ) est appelé l’axe des ordonnées.
On peut aussi définir un repère à l’aide des vecteurs. Si on pose OI = i et OJ = j le repère sera noté (O, i , j) avec i et j deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas (O , i) est l’axe des abscisses et (O , j) est l’axe des ordonnées.
Exemple 2
Cas particulier :
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Si les points O, I et J forment un triangle rectangle isocèle en O (c’est-à-dire si OI = OJ et (OI) ⊥ (OJ)) alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).
Exemple de repère orthonormale :
Coordonnées d’un point (la droite dans le plan tronc commun)
Propriété 3
Dans un repère (O, i , j) , pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombre réels (x, y) tels que : OM = xi + yi.
On dit que (x, y) est le couple de coordonnées du point M et on notera M(x, y). On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée.
Coordonnées d’un vecteur (la droite dans le plan tronc commun)
Définition 4
Dire que le vecteur u a pour coordonnées x et y dans le repère veut dire que : u = xi + yj .
Pour indiquer les coordonnées du vecteur on utilise la notation : (x, y) .
Propriété 5
Soient u(x, y) et v(x′, y′) deux vecteurs d’un plan muni d’un repère.
- u = v équivaux x = x′ et y = y′ .
Propriété 6
Soit (O , i , j) un repère.
Si A(xA, yA) et B(xB, yB) alors : AB (xB − xA, yB − yA).
Exemple 7
Si A(1, −4) et B(−3, 7) alors : AB (−3 − 1, 7 − (−4)), c’est-à-dire : AB (−4, 11).
Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par nombre réel.
Propriété 8
Dans un plan muni d’un repère, si u(x, y) et v(x′, y′) et k est un nombre réel. Alors :
- Le vecteur u + v a pour coordonnées : (x + x′ , y + y′) .
- Le vecteur ku a pour coordonnées : (kx, ky).
Exemple 9
Le plan étant muni d’un repère, soit v(6, −1) et w( −7, 2). Calculer les coordonnées du vecteur v + 2w.
Comme w(−7, 2) et 2w(−14, 4). Donc : v + 2w(6 − 14, −1 + 4).
C’est-à-dire : v + 2w(−8, 3).
Condition analytique de la colinéarité de deux vecteurs.
Déterminant de deux vecteurs
Définition 10
Dans un repère ( O , i , j ) du plan. On appelle déterminant des vecteurs u(x, y) et v(x′, y′) dans ce repère le nombre notée det (u, v) tel que :
Exemple 11
Dans un repère (O , i , j) du plan. On considère les vecteurs u(4, 5) et v(−2, 1).
Le déterminant des vecteurs u et v est le nombre :
Propriété 12 (Déterminant de vecteurs colinéaires)
Dans un repère (O, i , j) du plan. On considère les vecteurs u(x, y) et v(x′, y′).
Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si leur déterminant est nul c’est-à-dire si, et seulement si det ( u , v ) = 0.
Démonstration 13
On suppose que les vecteurs u et v sont colinéaires.
- Si : u = 0 , alors : x = y = 0. Donc : xy′ − x′y = 0. C’est-à-dire : det ( u , v ) = 0.
- Si : u ≠ 0, donc il existe k de ℝ tel que : v = ku. Ceci signifie que : x′ = kx et y′ = ky.
Donc :
det ( u , v ) = xy′ − x′y = xky − kxy = 0
Réciproquement : On suppose que xy′ − x′y = 0.
- Si : u ≠ 0 donc : x ≠ 0 ou y ≠ 0.
On suppose que : x ≠ 0 (même démarche si y ≠ 0).
On a : xy′ − x′y = 0. C’est-à-dire : y′ = x′/xy .
On pose k = x′/x . Donc : y′ = ky et x′ = kx. Ce qui signifie que : v = ku. Donc les vecteurs u et v sont colinéaires.
- Si : u = 0. Alors u et v sont colinéaires.
Dans les deux cas si xy′ − x′y = 0, alors u et v sont colinéaires.
Exemple 14
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Montrer que les points M(4, −1), N(7, −3) et P(−5, 5) sont alignés.
- On cherche les coordonnées des vecteurs MN et MP.
On a : MN(xN − xM, yN − xN), donc : MN (3, −2). De même on a : MP(xP − xM, yP − yM) , donc : MP(−9, 6).
- Calculons det (MN, MP) :
On conclut que les vecteurs MN et MP sont colinéaires, par suite les points sont alignés.
Milieu et longueur d’un segment
Milieu d’un segment
Propriété 15
Dans un plan muni d’un repère étant donné deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (xA+xB/2, yA+yB/2).
Longueur d’un segment
Propriété 16
Dans un plan muni d’un repère orthonormé, si A(xA, yA) et B(xB, yB) sont deux points alors la distance de A à B est AB = √(xB − xA)2+(yB − yA)2.
Exemple 17
La distance entre les points A(3, 1) et B(−1, 2) dans un repère orthonormé.
AB = √(xB − xA)2+(yB − yA)2
= √(−1−3)2+(2−1)2
= √17
Droite définie par un point et un vecteur directeur
Vecteur directeur d’un droite
Définition 18
Soit une droite (d) définie par deux points A et B. Un vecteur directeur u de la droite (d) est le vecteur AB.
Remarque 19
Le vecteur u n’est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur.
Remarque 20
Si u et v sont deux vecteurs directeurs de la droite (d), alors les vecteurs u et v sont colinéaires. On a donc det (u, v) = 0.
Exemple 21
Soit la droite (d) définie par : A(3, −5) et B(2, 3).
Le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite (d), on a alors : AB(−1, 8).
Représentation paramétrique d’une droite
Propriété 22
Dans le plan muni d’un repère. On considère la droite (D) passant par le point A(xA, yA) et de vecteur directeur u (a, b). Le point M(x, y) appartient à la droite (D) si et seulement si : { x = xA + at , (t ∈ ℝ) et y = yA + bt , (t ∈ ℝ). Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite (D).
Démonstration 23
M ∈ (D) ⇔ u et AM sont colinéaires
⇔ il existe un réel t tel que AM = tu
⇔ (x − xA, y − yA) = t (a, b)
⇔ { x − xA = at , (t ∈ ℝ) et y − yA = bt , (t ∈ ℝ)
⇔ { x = xA + at , (t ∈ ℝ) et y = yA + bt , (t ∈ ℝ)
Exemple 24
Dans le plan muni d’un repère. On considère la droite (D) passant par le point A(3, −5) et de vecteur directeur u(2, 3).
Une représentation paramétrique de la droite (D) est : { x = 3 − 2t , (t ∈ ℝ) et y = −5 + 3t , (t ∈ ℝ)
Exemple 25
Dans le plan muni d’un repère ( O , i , j ).
On considère dans le plan la droite (D) passant par les points A(3, −2) et B(5, 4).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).
Équation cartésienne d’une droite dans le plan
L’équation cartésienne d’une droite est la relation qui relie les coordonnées de tout point de cette droite.
Définition 26
Soit ( O , i , j ) un repère.
L’équation cartésienne d’une droite s’écrit comme suit : ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels a et b ne sont pas tous nuls.
Exemple 27
On considère un repère ( O , i , j ) du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par les points A(1, 2) et B(−1, 3).
Méthode.
Soit M(x, y) un point du plan.
M ∈ (D) signifie que les vecteurs AM et AB sont colinéaires.
Donc : det (AM, AB) = 0, et comme : AM(x − 1, y − 2) et AB(−2, 1). Alors :
Propriétés 28 (Admis)
Soit ( O , i , j ) un repère et a, b et c des réels tels que : a ≠ 0 ou b ≠ 0.
L’ensemble des points M (x, y) tels que ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur u (−b, a).
Exemple 29
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(3, 1) et de vecteur directeur u (−1, 5).
- On a : u (−1, 5) est un vecteur directeur de (d), une équation cartésienne de (d) est de la forme : 5x + y + c = 0.
Pour déterminer c, il suffit de substituer les coordonnées de A dans l’équation. On obtient :
5 × 3 + 1 + c = 0 ⇔ c = − 16
Donc une équation cartésienne de la droite (D) est : 5x + y − 16 = 0.
Remarque 30
L’équation cartésienne d’une droite n’est pas unique. On peut toujours multiplier les coefficients par une facteur k non nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l’exemple l’équation cartésienne suivante : 10x + 2y − 32 = 0 en multipliant par 2.
Exemple 31
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) définie par la représentation paramétrique suivante :
{ x = 1 + 2t , (t ∈ ℝ) et y = 3 − 4t , (t ∈ ℝ)
Soit t ∈ ℝ.
On a :
{ x = 1 + 2t et y = 3 − 4t
⇔ { x − 1 = 2t et y − 3 = −4t
⇔ { t = x−1/2 et t = 3−y/4
Donc, on obtient : x−1/2 = 3−y/4, on écrit cette équation sous la forme : ax + by + c = 0.
x−1/2 = 3−y/4 ⇔ 2(x − 1)/4 = 3−y/4 ⇔ 2x + y − 5 = 0
Donc une équation cartésienne de la droite (D) est : 2x + y − 5 = 0.
Exemple 32
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) définie par l’équation cartésienne suivante : 3x − 2x + 4 = 0.
- On sait que le vecteur u (−b, a) est vecteur directeur de la droite (D) tel que : a = 3 et b = −2.
Ceci signifie que le vecteur u (2, 3) est un vecteur directeur de la droite (D). On prend le point A(0, 2) appartient à (D).
Donc, une représentation paramétrique de la droite (D) est : { x = 2t , (t ∈ ℝ) et y = 2 + 3t , (t ∈ ℝ) .
Équation réduite d’une droite
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Une équation cartésienne de la droite (d) est donc du type : ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0).
Comme b ≠ 0, on peut diviser cette équation par b, on obtient alors :
a/bx + y + c/b = 0 ⇔ y = −a/bx − c/b
En posant : m = −a/b et p = −c/b, on obtient :
y = mx + p
Cette équation est appelée »équation réduite » de la droite (d).
- m est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite (d).
- p est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d).
Exemple 33
On considère la droite (d) d’équation cartésienne : 4x + y − 6 = 0.
4x + y − 6 = 0 ⇔ y = −4x + 6
Donc, l’équation réduite de la droite (d) est : y = −4x + 6.
Propriété 34 (Droites particulières)
- Une droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) a comme équation : y = a.
- Un droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) a comme équation : x = b.
Exemple 35
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Tracer la droite (d) d’équation réduite : y = 2x + 3.
Méthode
- La droite (d) d’équation y = 2x + 3 a pour ordonnée à l’origine 3. Donc le point A de coordonnées (0, 3) appartient à (d).
- Soit (B) le point d’abscisse −2 appartenant à la droite (d). Les coordonnées de B vérifient l’équation de (d), donc : yB = 2 × (−2) + 3 = − 1. Le point B de coordonnées , (−2, −1) appartient à la droite (d).
On peut ainsi tracer la droite (d) passant par A et B.
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