par Géométrie repérée cours première spé.
On se place dans un repère orthonormé ( O , i , j ) du plan.
Équation cartésienne d’une droite dans le plan (Géométrie repérée cours)
Condition analytique de la colinéarité de deux vecteurs (Géométrie repérée cours)
Déterminant de deux vecteurs
Définition 1
On appelle déterminant des vecteurs u (x, y) et v (x′, y′) dans ce repère le nombre noté det ( u, v ) tel que :
Exemple 2
On considère les vecteurs u (4, 5) et v (−2, 1).
Le déterminant des vecteurs u et v est le nombre :
Propriété 3 (Déterminant de vecteurs colinéaires)
On considère les vecteurs u (x, y) et v (x′, y′).
Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si leur déterminant est nul c’est-à-dire si, et seulement si det (u, v) = 0.
Démonstration 4
On suppose que les vecteurs u et v sont colinéaires.
- Si : u = 0, alors : x = y = 0. Donc : xy′ − x′y = 0. C’est-à-dire : det ( u, v ) = 0.
- Si : u ≠ 0, donc il existe k de ℝ tel que : v = ku. Ceci signifie que : x′ = kx et y′ = ky.
Donc :
det ( u , v ) = xy′ − x′y = xky − kxy = 0
Réciproquement : On suppose que : xy′ − x′y = 0.
- Si : u ≠ 0 donc : x ≠ 0 ou y ≠ 0.
On suppose que : x ≠ 0 (même démarche si y ≠ 0).
On a : xy′ − x′y = 0. C’est-à-dire : y′ = x′/x y.
On pose k = x′/x. Donc : y′ = ky et x′ = kx. Ce qui signifie que : v = ku. Donc les vecteurs u et v sont colinéaires.
- Si : u = 0. Alors u et v sont colinéaires.
Dans les deux cas si xy′ − x′y = 0, alors u et v sont colinéaires.
Exemple 5
Montrer que les points M(4, −1), N(7, −3) et P(−5, 5) sont alignés.
- On cherche les coordonnées des vecteurs MN et MP.
On a : MN(xN − xM, yN − yM), donc : MN(3, −2). De même on a : MP(xP − xM, yP − yM) , donc : MP (−9, 6).
- Calculons det ( MN, MP ) :
det ( MN, MP ) = 0
On conclut que les vecteurs MN et MP sont colinéaires, par suite les points sont alignés.
Vecteur directeur d’une droite (Géométrie repérée cours)
Définition 6
Soit une droite (d) définie par deux points A et B. Un vecteur directeur u de la droite (d) est le vecteur AB.
Remarque 7
∎ Le vecteur u n’est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur.
∎ Si u et v sont deux vecteurs directeurs de la droite (d), alors les vecteurs u et v sont colinéaires. On a donc det ( u, v ) = 0.
Exemple 8
Soit la droite (d) définie par : A(3, −5) et B(2, 3) .
Le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite (d), on a alors : AB (−1, 8) .
Définition 9
L’équation cartésienne d’une droite s’écrit comme suit : ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels a et b ne sont pas tous nuls.
Exemple 10
Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par les points A(1, 2) et B(−1, 3).
Propriété 11 (Admis)
Soit ( O , i , j ) un repère et a, b et c des réels tels que : a ≠ 0 ou b ≠ 0.
L’ensemble des points M(x, y) tels que : ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur u ( −b, a ).
Exemple 12
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(3, 1) et de vecteur directeur u (−1, 5) .
- On a : u (−1, 5) est un vecteur directeur de (d), une équation cartésienne de (d) est de la forme : 5x + y + c = 0.
Pour déterminer c, il suffit de substituer les coordonnés de A dans l’équation. On obtient :
5 × 3 + 1 + c = 0 ⇔ c = −16
Donc une équation cartésienne de la droite (D) est : 5x + y − 16 = 0.
Remarque 13
L’équation cartésienne d’une droite n’est pas unique. On peut toujours multiplier les coefficients par un facteur k non nul. Par exemple, on peut trouver la droite de l’exemple l’équation cartésienne suivante : 10x + 2y − 32 = 0 en multipliant par 2.
Équation réduite d’une droite (Géométrie repérée cours)
Soit ( O , i , j ) un repère du plan.
Une équation cartésienne de la droite (d) est donc du type : ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0) .
Comme b ≠ 0, on peut diviser cette équation par b, on obtient alors :
a/b x + y + c/b = 0 ⇔ y = −a/b x − c/b
En posant : m = −a/b et p = −c/b, on obtient :
y = mx + p
Cette équation est appelé » équation réduite » de la droite (d).
- m est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite (d) .
- p est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d).
Exemple 14
On considère la droite (d) d’équation cartésienne : 4x + y − 6 = 0.
4x + y − 6 = 0 ⇔ y = −4x + 6
Donc, l’équation réduite de la droite (d) est : y = −4x + 6.
Propriété 15 (Droites particulières)
- Une droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) a comme équation : y = a.
- Une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) a comme équation : x = b.
Équation de droite de vecteur normal donnée
Vecteur normal à une droite
Définition 16
Soit (D) une droite du plan.
Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de la droite (D) est appelé vecteur normal à la droite (D).
Propriété 17
∎ Une droite de vecteur normal n (a, b) a une équation de la forme ax + by + c = 0 avec c ∈ ℝ.
∎ Réciproquement, la droite (d) d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur n (a, b) pour vecteur normal.
Démonstration 18
∎ Soit (D) une droite de vecteur normal n (a, b) et soit A(x0, y0) ∈ (d) .
Soit M(x, y) un point du plan, on a AM(x − x0, y − y0).
M(x, y) ∊ (d) ⇔ AM. n = 0
⇔ a(x − x0) + b(y − y0) = 0
⇔ ax + by + c = 0, avec c = −ax0 − by0.
∎ Si ax + by + c = 0 est une équation catésienne de (d) alors u (−b, a) est un vecteur directeur de (d). Le vecteur n (a, b) vérifie :
−b × a + a × b = 0
Donc les vecteurs u et n sont orthogonaux.
Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal
Exemple 19
Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(1, 1) de vecteur normal n (2, 3).
Soit M(x, y) un point du plan.
M(x, y) ∊ (d) ⇔ AM. n = 0
⇔ (x − 1) × 2 + (y − 1) × 3
⇔ 2x + 3y − 5 = 0
Donc, une équation cartésienne de (d) est : 2x + 3y − 5 = 0.
Exemple 20
On considère les points A(1, 1) , B(−2, 0) et C(3, 5). Déterminer une équation de la droite (D), médiatrice du segment [AC].
La médiatrice du segment [AC] est la droite (D) passant par le point I milieu du segment [AC] et perpendiculaire à (AC) donc (AC) est un vecteur normal à (D).
On a I(2, 3) et AC (2, 4) est un vecteur normal à (D), donc une équation cartésienne de (D) s’écrit sous la forme :
2x + 4y + c = 0 où c ∈ ℝ.
Puisque I ∈ (D), alors : 4 + 12 + c = 0, d’où c = − 16. Donc x + 2y − 8 = 0 est une équation de la médiatrice du segment [AC] .
Équation cartésienne d’un cercle
Propriété 21
Une équation cartésienne du cercle (C) de centre Ω(a, b) et de rayon R est :
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Démonstration 22
Soit M(x, y) un point du plan.
M(x, y) ∊ (C) ⇔ ΩM = R
⇔ ΩM2 = R2
⇔ (√(x − a)2+(y − b)2)2 = R2
⇔ (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Exemple 23
Une équation du cercle (C) du centre Ω(1, −1) et de rayon √2 est :
(x − 1)2 + (y + 1)2 = 2
Que l’on peut écrire
x2 + y2 − 2x + 2y = 0.
Exemple 24
Déterminer l’ensemble des points M (x, y) du plan tels que :
{ x = −1 + 2cos θ / (θ ∈ ℝ) et y = 3 + 2sin θ / (θ ∈ ℝ)
Soit M(x, y) un point du plan dont les coordonnées vérifient le système donné.
On a
{ x = −1 + 2cos θ / (θ ∈ ℝ) et y = 3 + 2sin θ / (θ ∈ ℝ)
donc
{ x + 1 = 2cos θ / (θ ∈ ℝ) et y − 3 = 2sin θ / (θ ∈ ℝ)
D’où
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 4cos2θ + 4sin2θ = 4.
Par suite (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 est une équation du cercle (C) de centre Ω(−1, 3) et de rayon 2.
Exemple 25
Quelle est la nature de l’ensemble (τ) des points M(x; y) tels que : x2 + y2 − 6x + 2y + 5 = 0 ?
M(x, y) ∊ (τ) ⇔ x2 + y2 − 6x + 2y + 5 = 0
⇔ x2 − 6x + y2 + 2y + 5 = 0
⇔ (x − 3)2 + (y + 1)2 = 5
(τ) est le cercle de centre C(3, −1) et de rayon R = √5.
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