Généralités sur les fonctions pdf

Généralités sur les fonctions cours pdf. (Première spé)

Fonction numérique (Généralités sur les fonctions cours pdf)

Définition générale d’une fonction

Définition 1

• Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image. On note cette fonction par : ƒ, g, h, …
• On représente la fonction ƒ par :

ƒ E → F

x → ƒ(x)

⋇ L’image d’un élément x par ƒ sera notée ƒ(x).

⋇ L’ensemble E appelé ensemble de départ.

⋇ L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.

Remarque 2 (Généralités sur les fonctions cours pdf)

Il faut faire la différence entre la fonction ƒ qui représente une relation et ƒ(x) qui représente l’image de x par ƒ qui est un élément.

Exemple 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ [−1, 4[ →  ℝ

x → x² + 2x − 3

On a : ƒ(1) = 1² + 2 × 1 − 3 = 0. C’est-à-dire 0 est l’image de 1 par la fonction ƒ.

L’ensemble de définition d’une fonction (Généralités sur les fonctions cours pdf)

Définition 4

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x.

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est l’ensemble des nombres réels x qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de définition de la fonction ƒ est noté : D_ƒ tel que :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ ƒ(x) ∈ ℝ} 

Exemple 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions numériques suivantes ƒ, h, g et M telles que :

ƒ(x) = 2x/x−1 , h(x) = √x−1 , g(x) = x² +4/x² −1 et M(x) = x³ + 5x − 1

• Pour la fonction ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≠0} 

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Pour la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≥ 0} 

= {x ∈ ℝ/ x ≥ 1}

= [1, +∞[

• Pour la fonction g :

D_g = {x ∈ ℝ/ x² − 1 ≠0} 

On résout l’équation : x² − 1 = 0.

x² − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = − 1

Donc

D_g = {x ∈ ℝ/ x ≠ 1 et x ≠ − 1}

= ]−∞, −1[⋃]−1, 1[⋃]1, +∞[

• Pour la fonction M :

M est une fonction polynomiale. Donc : D_M = ℝ.

Égalité de deux fonctions (Généralités sur les fonctions pdf)

Définition 6

Soient ƒ et g deux fonctions numérique définies respectivement sur D_ƒ et D_g. Les deux fonctions ƒ et g sont égales si, et seulement si :

• Ces deux fonctions ont même ensemble de définition. C’est-à-dire : D_ƒ = D_g .
• Pour tout réel x de l’ensemble de définition D_ƒ, on a : ƒ(x) = g(x).

Remarque 7

En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représentations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.

Exemple 8

On considère les deux fonctions numériques ƒ et g définies par : ƒ(x) = ∣x + 2∣ et g(x) = √x²+4x+4

Est-ce-que les fonctions ƒ et g sont égales ?

Graphe d’une fonction (Généralités sur les fonctions cours pdf)

Définition 9

Soit ƒ la fonction numérique définie sur D_ƒ. (D_ƒ ⊂ ℝ)

La représentation graphique ou courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j) est l’ensemble des points M(x, ƒ(x)) noté (C_ƒ) tel que x ∈ D_ƒ. Autrement dit :

(C_ƒ) = {M(x, ƒ(x))/ x ∈ D_ƒ} 

Les variations d’une fonction numérique (Généralités sur les fonctions pdf)

Définition 10

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I.

• ƒ est croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂).
• ƒ est strictement croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≺ x₂ alors ƒ(x₁) ≺ ƒ(x₂)
• ƒ est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂).
• ƒ est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≺ x₂ alors ƒ(x₁) ≻ ƒ(x₂).
• ƒ est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout x ∈ I , ƒ(x) = k.
• La fonction ƒ est dite monotone sur I si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I.
• La fonction ƒ est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Étude des variations

• L’étude des variations d’une fonction ƒ consiste à déterminer les intervalles de D_ƒ sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.
• Pour construire le tableau des variations de la fonction ƒ sur D_ƒ on détermine les intervalles I contenus dans D_ƒ sur lesquels ƒ est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de ƒ.

Exemple 11

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ qui vérifie :

• ƒ est croissante sur les intervalles ]−∞, −1[ et [2, +∞[.
• ƒ est décroissante sur l’intervalles [−1, 2] et ƒ(−1) = 2 et ƒ(2) = −1.

Extremum d’une fonction

Définition 12

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x ∈ I.

2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout x ∈ I.

Remarque 13

Un extremum est un maximum ou minimum.

Exemple 14

On considère la fonction ƒ définie par :

Déterminer la valeur maximale et minimale de ƒ sur [−3, 4] .

Fonctions de référence

La fonction affine

Définition 15

La fonction affine est la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = ax + b avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.

Étude des variations de ƒ : Soient x et y deux réels tels que : x ≻ y.

ƒ(x) − ƒ(y) = (ax + b) − (ay + b) = ax − ay = a(x − y).

Comme x − y ≻ 0, alors le signe de ƒ(x) − ƒ(y) sur ℝ est celui de a.

• Si a = 0 alors ƒ est constante sur ℝ.
• Si a ≻ 0 alors ƒ est strictement croissante sur ℝ.
• Si a < 0 alors ƒ est strictement décroissante sur ℝ.

Tableaux de variations : 1er cas. Si a ≻ 0.

2ème cas. Si a < 0.

Courbes représentatives : La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.

La fonction carrée

Propriété 16

La fonction carrée ƒ est définie sur ℝ par : ƒ(x) = x². La fonction carrée est strictement décroissante sur ℝ⁻ et strictement croissante sur ℝ⁺. La représentation de la fonction carrée est une parabole d’axe (Oy) de sommet O.

La fonction inverse

Propriété 17

La fonction inverse ƒ est définie sur ℝ* par : ƒ(x) = 1/x. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞; 0[ et sur ]0; +∞[. La représentation de la fonction inverse est une hyperbole dont le point de symétrie est l’origine et les asymptotes les axes de coordonnées.

La fonction racine carrée

Définition 18

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0, +∞[ par : ƒ(x) = √x.

Étude des variations : Soient x et y deux réels de [0, +∞[ tels que : x ≻ y.

ƒ(x) − ƒ(y) = √x − √y = (√x + √y)(√x − √y)/√x+√y = x−y/√x+√y ≻ 0.

Comme x ≻ y alors x − y ≻ 0. Donc

x−y/√x+√y ≻ 0.

D’où la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[ .

Tableau de variations :

Courbe représentative :

La fonction valeur absolue

Valeur absolue

Définition 19

Soit x un réel et M le point d’abscisse x de la droite des réels d’origine O. La valeur absolue de x est la distance OM ; on note ∣x∣ = OM.

Et par suite :

∣x∣ = {x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0

Exemple 20

1. ∣2 − √3∣ = 2 − √3, car 2 − √3 ≻ 0.
2. ∣√5 − 3∣ = −(√5 − 3) = 3 − √5, car √5 − 3 ≺ 0.
3. ∣x − 1∣ = { x − 1 si x ≥ 1 et −x + 1 si x ≤ 1

Propriété 21

1. La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ∣x∣ ≥ 0.
2. √x² = ∣x∣
3. Un nombre est son opposé ont la même valeur absolue : ∣x∣ = ∣−x∣.

Propriété 22

Soit x et y deux réels.

1. ∣x − y∣ = ∣y − x∣
2. ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣
3. ∣x/y∣ = ∣x/y∣ , (y ≠ 0)
4. ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣
5. ∣x∣ = a si et seulement si x = a ou x = − a avec a ≥ 0.
6. ∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si x = y ou x = − y.

Exemple 23

• Déterminer les valeurs de x pour lesquelles ∣x − 3∣ = 4.

Soit x ∈ ℝ.

∣x − 3∣ = 4 ⇔ x − 3 = 4 ou x − 3 = −4

⇔ x = 3 + 4 ou x = 3 − 4

⇔ x = 7 ou x = − 1

Les valeurs de x sont 7 et −1.

Exemple 24

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

(E₁) : ∣x − 2∣ = 0 , (E₂) : ∣3x − 1∣ = 4 , (E₃) : ∣2x − 5∣ = −1 et (E₄) : ∣3x − 1∣ = ∣x − 1∣

• Soit x ∈ ℝ.

∣x − 2∣ = 0 ⇔  x − 2 = 0 ⇔ x = 2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₁) est :

S = {2} 

• Soit x ∈ ℝ.

∣3x − 1∣ = 4 ⇔  3x + 1 = 4 ou 3x + 1 = − 4

⇔  3x = 3 ou 3x = −5

⇔ x = 1 ou x = −5/3

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₂) est :

S = {−5/3, 1}

• Comme − 1 ≺ 0 et ∣2x − 5∣ ≥ 0, ceci signifie que l’équation (E₃) n’admet aucune solution dans ℝ. Donc :

S = ∅

• Soit x ∈ ℝ.

∣3x − 1∣ = ∣x − 1∣ ⇔ 3x − 1 = x − 1 ou 3x − 1 = −(x − 1)

⇔ 3x − x = 1 − 1 ou 3x − 1 = −x + 1

⇔ 2x = 0 ou 3x + x = 1 + 1

⇔ x = 0 ou 4x = 2

⇔ x = 0 ou x = 1/2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₄) est :

S = {0, 1/2}.

Variations

La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par : ƒ(x) = ∣x∣.

On a

{ ƒ(x) = x si x ≥ 0 et ƒ(x) = −x si x ≤ 0

Sa courbe représentative est donnée dans le graphique suivant

Propriété 25

La fonction valeur absolue ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[ . Son minimum sur ℝ est 0 et il est atteint pour x = 0.

Démonstration 26

∎ Sur ]−∞, 0] , ƒ est définie par ƒ(x) = −x, ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, 0], puisque son coefficient directeur est m = − 1 est négatif.

∎ Sur [0, +∞[, ƒ est définie par ƒ(x) = x, ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[ , puisque son coefficient directeur est m = 1 est positif.

∎ Pour tout x ∈ ℝ on a ƒ(x) = ∣x∣ et ∣x∣ ≥ 0. De plus ƒ(0) = 0. Ainsi pour tout x ∈ ℝ : ƒ(x) ≥ ƒ(0). D’où ƒ admet 0 pour minimum sur ℝ, atteint au point d’abscisse 0.

Parité d’une fonction

Fonction paire

Définition 27

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite paire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : −x ∈ D_ƒ.
• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : ƒ(−x) = ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction paire.

Propriété 28

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque 29

Pour étudier une fonction paire ƒ, il suffit de l’étudier sur : E = D_ƒ ⋂ [0, +∞[.

Exemple 30

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣.

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

1. Montrer que la fonction ƒ est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣ . Donc : D_ƒ = ℝ.

Pour tout x ∈ D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1)

Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x).

ƒ(−x) = (−x)² + ∣−x∣ = x² + ∣x∣ = ƒ(x). (2)

La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction impaire

Définition 31

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite impaire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : −x ∈ D_ƒ.
• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : ƒ(−x) = −ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction impaire

Propriété 32

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est impaire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 33

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x² +1/x .

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

1. Montrer que la fonction ƒ est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : D_ƒ = ℝ*.

Pour tout x de D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1).

Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = (−x)² +1/−x = − x² +1/x = −ƒ(x). (2)

D’après (1) et (2), on déduit que ƒ est une fonction impaire.

• La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Cliquer ici pour télécharger Généralités sur les fonctions cours pdf Première spé

Vous pouvez aussi consulter :

• Équations du second degré cours
• Suites numériques 1ère s cours pdf