Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf

La fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf. C’est une série d’exercices et problèmes corrigés sur la fonction logarithme (Bac / Terminale)

Problème d’analyse 01. (Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf)

Le but du problème est d’étudier certaines propriétés de la fonction ƒ. On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle  ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = xln(1 + 1/x²) si x > 0 et ƒ(0) = 0.

On note (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité graphique : 5cm)

Partie 01

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

g(x) = ln(1 + 1/x²) − 2/x² + 1

1. Justifier la dérivabilité de la fonction g sur ]0, +∞[ , puis montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ g′(x) = 2(x² − 1)/x(x² + 1)²
2. Étudier le signe de g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[. Déterminer la limite de la fonction g en +∞, puis déterminer la limite de g en 0.
3. Déduire le tableau de variations de la fonction g.
4. En déduire qu’il existe un unique réel α > 0 tel que : g(α) = 0. Vérifier que 0,5 < α < 0,6.
5. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.

Partie 02

1. Calculer la limite quand x tend vers +∞ de xƒ(x). (penser au changement de variables : X = 1/x²).
2. En déduire que ƒ(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[, on a ƒ′(x) = g(x)
3. Dresser le tableau de variations de ƒ sur ]0, +∞[.

Problème d’analyse 02. (Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf)

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle ]0, 2[ par :

ƒ(x) = ln(x/2−x)

On note (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Calculer lim_x→0x>0 ƒ(x) et lim_x→2x<2 ƒ(x).
2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]0, 2[, puis montrer que pour tout x ∈ ]0, 2[ on a : ƒ′(x) = 2/x(2 − x)
3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
4. Écrire une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point A(1,0).

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Correction de la série d’exercices sur la fonction logarithme

Problème d’analyse 01 (Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf)

Partie 01

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

g(x) = ln(1 + 1/x²) − 2/x² + 1

1. Justifions la dérivabilité de la fonction g sur l’intervalle ]0, +∞[.

La fonction g s’écrit comme la différence de deux fonction u et v, telles que :

u(x) = ln(1 + 1/x²) et v(x) = 2/x² + 1

• v est une fonction rationnelle dérivable sur son domaine de définition, et surtout sur ]0, +∞[.

On pose h la fonction définie par : h : x → 1 + 1/x².

• h est une fonction dérivable sur ]0, +∞[, car c’est la somme de deux fonctions dérivable ( x → 1 et x → 1/x²), et pour tout x ∈ ]0, +∞[ on a : h(x) ≻ 0. Donc, la fonction v est dérivable sur ]0, +∞[.

Ce qui signifie que la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la différence de deux fonctions dérivable sur ]0, +∞[.

Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.

2. étudions le signe g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[.

On a pour tout x ∈ ]0, +∞[.

g′(x) = 2(x² −1)/x(x² +1)²

comme x(x² +1)² ≻ 0, alors le signe g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Donc le signe g′(x) est donné par le tableau suivant :

Ce qui signifie que, g′(x) ≤ 0 pour tout x ∈ ]0, 1] et g′(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [1, +∞[.

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Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien

Problème 1 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1∣/1 − 2x

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j).

1. Déterminer D_ƒ . (D_ƒ l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
2. Montrer que :

{ƒ(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]1/2, +∞[

ƒ(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]−∞, 1/2[

3. a) Calculer : lim_x→ +∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4. a) Calculer : lim_x→1/2 ƒ(x) et lim_x→1/2 ƒ(x)

_{x>1/2 x<1/2}

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

5. Montrer que :

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)² si x ∈ ]1/2, +∞[

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)² si x ∈ ]−∞, 1/2[

6. Etudier la signe de ƒ'(x) sur ]1/2, +∞[ et sur ]−∞, 1/2[.

7. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

8. Déterminer l’équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C_ƒ) en point d’abscisse x = 0.

9. Tracer (C_ƒ).

10. Soit m un paramètre réel, déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation : ƒ(x) = m.

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Correction du devoir surveillé

Problème 1 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1∣/1 − 2x

1. L’ensemble de définition de la fonction ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ ∣2x − 1∣ > 0 et 1 − 2x ≠0}

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2}

= ]−∞, 1/2[⋃]1/2, +∞[

2. On exprime la fonction ƒ sans valeur absolue :

• Si : 2x − 1 > 0, alors x > 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]1/2, +∞[. Donc ∣2x − 1∣ = 2x − 1. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(2x − 1)/1 − 2x

• Si : 2x − 1 < 0, alors x < 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]−∞, 1/2[. D’où ∣2x − 1∣ = −(2x − 1) = 1 − 2x. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(1 − 2x)/1 − 2x

Donc, on conclut que l’expression de ƒ sur D_ƒ est :

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Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Problème d’analyse

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)²

1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)²/x = 4(ln√x/√x)² , puis déduire lim_x→+∞ (ln x)²/x.
3. Déduire de ce qui précède que : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x.
4. Calculer lim_x→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
5. Etudier la position relative de (C_ƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.

Correction

1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → − 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Devoir de maison sur la fonction logarithme et les suites numériques

Problème d’analyse

On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :

ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)

et soit (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)

Partie 01

1. Montrer que : D_ƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (D_ƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
   1. Calculer lim_x→e⁺ ƒ(x) et lim_x→e⁻ ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
   2. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (C_ƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
   3. Montrer que lim_x→0⁺ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
   1. Montrer que pour tout x de D_ƒ . ƒ′(x) = ln x/x²(1 − ln x)²
   2. Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
   3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur D_ƒ.

Partie 02

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x²(1 − ln x)

et soit (C_g) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).

1. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
2. On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.

Partie 03

On considère la suite numérique (u_n) définie par :

u₀ = 2 et u_n+1 = ƒ(u_n) pour tout n ∈ ℕ

1. Montrer par récurrence que 1 ≤ u_n ≤ α pour tout n de ℕ.
2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.
3. En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

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Fonction logarithme népérien exercices (Série N2)

Problème d’analyse. (Fonction logarithme népérien exercices N2)

Partie 01

Soit g la fonction définie sur  ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x + xlnx

1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : g′(x) = ln x.
2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[.

Partie 02

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = 3 − 1/x² − 2lnx/x

et soit (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (unité 1cm)

1. Montrer que : lim_x→0⁺ ƒ(x) = −∞ et interpréter le résultat obtenu.
2. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 3. En déduire la nature de la branche infinie à (C_ƒ) au voisinage de +∞.
   1. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ƒ′(x) = 2g(x)/x³
   2. Interpréter le résultat suivant : ƒ′(1) = 0.
   3. Montrer que ƒ est croissante sur ]0, +∞[.
3. Tracer (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

(On admet que (C_ƒ) admet deux points d’inflexion, un point d’abscisse 1 et l’autre d’abscisse compris entre 2 et 2,5 et on prends ƒ(0,3) = 0).

Exercice 02

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par :

{u₀ = 0 u_n+1 = 1+4u_n/7−2u_n ; (∀n∈ℕ).

1. Vérifier que : (∀n∈ℕ) : 1 − u_n+1 = 6(1 − u_n)/5+2(1 − u_n) puis montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) : 1 − u_n>0.
2. On pose pour tout n ∈ ℕ : v_n = 2u_n −1/u_n −1
   1. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 5/6, puis calculer v_n en fonction de n.
   2. Montrer que : (∀n∈ℕ) : u_n = (5/6)ⁿ −1/(5/6)ⁿ −2 déduire la limite de la suite (u_n)

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours fonction logarithme népérien
• Fonction logarithme népérien exercices Bac sur jaicompris