Étude des fonctions 1 bac

Étude des fonctions 1 bac cours. (1ère année bac)

Étude des branches infinies (Résumer) Étude des fonctions 1 bac

Axe symétrie− Centre de symétrie (Étude des fonctions 1 bac)

Propriété 1

Soit ƒ une fonction et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que la droite (∆) d’équation x = a soit un axe de symétrie de la courbe (C_ƒ), il faut et il suffit que pour tout x ∈ D_ƒ :

(2a − x) ∈ D_ƒ et ƒ(2a − x) = ƒ(x)

Exemple 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2x²−4x+3/x²−2x

Montrons que la droite (∆) d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe (C_ƒ).

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : D_ƒ = ℝ∖ {0, 2}.

Soit x ∈ ℝ.

x ∈ D_ƒ ⇔  x ≠ 0 et x ≠ 2

⇔  −x ≠ 0 et −x ≠ −2

⇔  2 − x ≠ 2 et 2 − x ≠ 0

⇔ (2 − x) ∈ D_ƒ

D’autre part, soit x ∈ D_ƒ.

ƒ(2 − x) = 2(2−x)²−4(2−x)+3/(2−x)²−2(2−x)

= 2(4−4x+x²)−8+4x+3/4−4x+x²−4+2x

= 2x²−4x+3/x²−2x

= ƒ(x) .

Par suite la droite (∆) d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe (C_ƒ).

Propriété 3

Soit ƒ une fonction et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère donné. Pour que le point Ω (a, b) soit un centre de symétrie de la courbe (C_ƒ), il faut et il suffit que pour tout x ∈ D_ƒ :

(2a − x) ∈ D_ƒ et ƒ(2a − x) = 2b − ƒ(x)

Exemple 4

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2x²+3x−5/x−1

Montrons que Ω (1, 7) est un centre de symétrie de la courbe (C_ƒ).

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : D_ƒ = ℝ∖ {1}.

Soit x ∈ ℝ.

x ∈ D_ƒ ⇔ x ≠ 1 ⇔ −x ≠ −1 ⇔ 2 − x ≠ 1 ⇔ (2 − x) ∈ D_ƒ

Soit x ∈ D_ƒ. Montrons que : ƒ(2 − x) = 14 − ƒ(x).

On a

ƒ(2 − x) = 2(2−x)²+3(2−x)−5/(2−x)−1

= 2(4−4x+x²)+6−3x−5/−x+1

= −2x²+11x−9/x−1

et

14 − ƒ(x) = 14 − 2x²+3x−5/x−1

= 14(x−1)−(2x²+3x−5)/x−1

= −2x²+11x−9/x−1

Donc

(∀x ∈ D_ƒ) , ƒ(2 − x) = 14 − ƒ(x).

Par suite le point Ω(1, 7) est un centre de symétrie de la courbe (C_ƒ).

Les fonctions périodiques

Définition 5

Soit ƒ : D_ƒ → ℝ et soit T ∈ ]0, +∞[. On dit que T est une période pour ƒ si :

pour tout x ∈ D_ƒ, (x + T) ∈ D_ƒ et ƒ(x + T) = ƒ(x)

Exemple 6

Pour tout x ∈ ℝ on a : (x + 2π) ∈ ℝ et sin(x + 2π) = sin x. Donc la fonction sin est périodique de période 2π.

Étude de la concavité d’une courbe

Dérivée seconde

Définition 7

Soit une fonction ƒ deux fois dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de ƒ, notée ƒ″, la fonction dérivée de ƒ′ : (ƒ′)′ = ƒ″.

Exemple 8

Soit la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x³ + 5x² − 3x − 1

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur ℝ.

∀x ∈ ℝ, ƒ″(x) = 12x + 10

Propriété 9

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I.

• ƒ est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x ∈ I, ƒ″(x) ≥ 0.

• ƒ est concave sur I si, et seulement si, pour tout x ∈ I, ƒ″(x) ≤ 0.

Exemple 10

Reprenons : ƒ(x) = 2x³ + 5x² − 3x − 1, on a : ƒ″(x) = 12x + 10

• ƒ″(x) = 0 ⇔  12x + 10 = 0 ⇔ x = −5/6. Donc

• Sur ]−∞, −5/6] on a ƒ″≤ 0. Donc la fonction ƒ est concave.

• Sur [−5/6, +∞[ on a ƒ″≥ 0. Donc la fonction ƒ est convexe.

Point d’inflexion  

Définition 11

Soit ƒ une fonction et (C_ƒ) sa courbe représentative. Un point d’inflexion de la courbe (C_ƒ) est un point où la courbe (C_ƒ) traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexité change de sens.

Théorème 12

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I de courbe représentative (C_ƒ).

Soit A(a, ƒ(a)) un point de (C_ƒ) de tangente (T_a).

Si ƒ″(a) = 0 en changeant de signe alors (C_ƒ) admet un point d’inflexion en A.

Cliquer ici pour télécharger Étude des fonctions 1 bac cours

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1 bac

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x).
2. En déduire que (C_ƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 3/x²√x²+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T₁) et (T₂) à (C_ƒ) aux points d’abscisses x₁ = 1 et x₂ = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (C_ƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (C_ƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x²

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
   1. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
   2. Justifier que (C_ƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
   1. Montrer que : lim_x→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
   2. Étudier la position relative de (C_ƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
2. a) Montrer que :

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 1/(1+x²)√1+x² − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur ℝ.

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s

Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. a) Calculons lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x)

lim_x→0⁺ ƒ(x) = lim_x→0⁺ 2 − √x²+3/x = −∞, car : lim_x→0⁺ √x²+3/x = +∞ 

et

lim_x→0⁻ ƒ(x) = lim_x→0⁻ 2 − √x²+3/x = +∞, car : lim_x→0⁻ √x²+3/x = −∞ 

b) Comme lim_x→0⁺ ƒ(x) = +∞ et lim_x→0⁻ ƒ(x) = −∞, alors (C_ƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 1 et lim_x→−∞ ƒ(x) = 3.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s (Correction du devoir surveillé)

Vous pouvez aussi consulter :

• Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés
• Les fonctions numériques 1er bac