Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés. (Tronc commun scientifique)
Exercice 1 (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)
Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :
(E1) : sin x = −sin π/7 , I = ℝ; (E2) : cos 2x = −cos π/8 , I = [0, 2π] ;
(E3) : cos x = −cos π/3 , I = ]−π/2, π/2[ ; (E4) : cos 3x = −sin x , I = ℝ
Exercice 2 (Équation de 2ème degré)
Résoudre dans l’intervalle I les équations suivantes :
(E1) : 3tan2x = 1 , I = ℝ
(E2) : 2cos2x − 3√3cos x + 3 = 0 , I = [0, 2π]
(E3) : √3tan2x + (√3 − 1)tan x − 1 = 0 , I = ℝ
(E4) : 2sin2x − 3sin x + 1 = 0 , I = ℝ
Exercice 3
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante :
(I) : (2sin x − 1)(√3tan x + 1) ≻ 0
Exercice 4 (Technique changement de la variable)
- Résoudre dans l’intervalle [0, π] l’inéquation suivante : (I) : sin(2x − π/3) ≤ √3/2
- Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation suivante : (I) : cos(x/2) ≺ −1/2.
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Correction des exercices sur les équations et inéquations trigonométriques
Exercice 1
On résout dans I les équations et trigonométriques :
- On résout dans ℝ l’équation (E1) :
Soit x ∈ ℝ.
On a : −sin π/7 = sin(−π/7). Donc :
sin x = −sin π/7 ⇔ sin x = sin(−π/7)
⇔ {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = π + π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ
⇔ {x = −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 8π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ
Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :
S = { −π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ} ⋃ { 8π/7 + 2kπ / k ∈ ℤ}
- On résout dans [0, 2π] l’équation (E2) :
Soit x ∈ [0, 2π].
On a : −cos π/8 = cos(π − π/8) = cos 7π/8. Donc :
cos 2x = −cos π/8 ⇔ cos 2x = cos 7π/8
⇔ {2x = 7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ ou 2x = −7π/8 + 2kπ / k ∈ ℤ
⇔ {x = 7π/16 + kπ / k ∈ ℤ ou x = −7π/16 + kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [0, 2π].
0 ≤ 7π/16 + kπ ≤ 2π
⇔ 0 ≤ 7/16 + k ≤ 2
⇔ −7/16 ≤ k ≤ 25/16
comme k ∈ ℤ, alors : k = 0 ou k = 1. Donc :
Si k = 0, alors : x = 7π/16.
Si k = 1, alors : x = 7π/16 + π = 23π/16.
0 ≤ −7π/16 + kπ ≤ 2π
⇔ 0 ≤ −7π/16 + k ≤ 2
⇔ 7/16 ≤ k ≤ 39/16
comme k ∈ ℤ, alors : k = 1 ou k = 2. Donc :
Si k = 1, alors : x = 9π/16
Si k = 2, alors : x = −7π/16 + 2π = 25π/16.
Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E2) est :
S = {7π/16, 9π/16, 23π/16, 25π/16}
- On résout l’équation ]−π/2, π/2[ l’équation (E3) :
Soit x ∈ ]−π/2, π/2[ .
On a : −cos π/3 = cos (π − π/3) = cos 2π/3. Donc :
cos x = −cos π/3 ⇔ cos x = cos 2π/3
⇔ {x = 2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −2π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]−π/2, π/2[ .
−π/2 ≺ 2π/3 + 2kπ ≺ π/2
⇔ −1/2 ≺ 2/3 + 2k ≺ 1/2
⇔ −1/2 − 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 − 2/3
⇔ −7/6 ≺ 2k ≺ −1/6
⇔ −7/12 ≺ k ≺ −1/12
Alors n’existe pas k ∈ ℤ.
−π/2 ≺ −2π/3 + 2kπ ≺ π/2
⇔ −1/2 ≺ −2/3 + 2k ≺ 1/2
⇔ −1/2 + 2/3 ≺ 2k ≺ 1/2 + 2/3
⇔ 1/6 ≺ 2k ≺ 7/6
⇔ 1/12 ≺ k ≺ 7/12
Alors n’existe pas k ∈ ℤ.
Donc :
S = ∅
- On résout dans ℝ l’équation (E4) :
Soit x ∈ ℝ.
On a : −sin x = cos(π/2 + x). Donc :
cos 3x = −sin x ⇔ cos 3x = cos(π/2 + x)
Donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E4) est :
S = {−π/8 + kπ/2 / k ∈ ℤ} ⋃ {π/4 + kπ / k ∈ ℤ}
Exercice 2 (équation de 2ème degré)
- L’équation (E1) existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.
Donc :
3tan2x = 1 ⇔ tan2x = 1/3
⇔ (tan x − 1/√3)(tan x + 1/√3) = 0
⇔ tan x = 1/√3 ou tan x = − 1/√3
⇔ tan x = √3/3 ou tan x = −√3/3
⇔ tan x = tan π/6 ou tan x = tan(−π/6)
⇔ x = π/6 + kπ ou x = −π/6 + kπ / k ∈ ℤ
L’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :
S = {π/6 + kπ / k ∈ ℤ} ⋃ {−π/6 + kπ / k ∈ ℤ}
- On résout dans [0, 2π] l’équation (E2) :
Soit x ∈ [0, 2π].
On pose : cos x = X, on obtient l’équation suivante : 2X2 − 3√3X + 3 = 0.
Calculons ∆ :
∆ = b2 − 4ac
= (−3√3)2 − 4 × 2 × 3
= 3
L’équation admet deux solutions réelles distinctes X1 et X2 :
X1 = −b+√∆/2a = 3√3+√3/4 = √3 et X2 = −b−√∆/2a = 3√3−√3/4 = √3/2
et comme cos x = X, alors on obtient :
cos x = √3 ou cos x = √3/2
⇔ cos x = cos π/6
⇔ {x = π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = −π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π].
Devoir surveillé sur les fonctions et le calcul trigonométrique (Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés)
Exercice 1
- Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x2 −6x+5 .
- Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x2 + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.
Exercice 2
On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x2 + 4x − 1 et h(x) = x/x−1
et (Cƒ) et (Ch) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
- Quelle est la nature de la courbe (Ch).
- Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (Ch).
- Donner le tableau de variations de la fonction ƒ. Quelle est la nature de la courbe (Cƒ).
- Calculer ƒ(0), ƒ(1/2) et ƒ(1/4), puis tracer la courbe (Cƒ).
- Déterminer graphiquement selon les valeurs du paramètre réel m le nombre des solutions des équations : ƒ(x) = m.
- On considère la fonction numérique g définie par : g(x) = h(∣x∣).
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g.
- Étudier la parité de la fonction g, puis vérifier que pour tout x ∈ [0, 1[ ⋃ ]1, +∞[ , on a : g(x) = h(x).
- Déduire le tableau de variations de la fonction g.
- Tracer la courbe (Cg) dans le même repère orthonormé (O , i , j ).
Exercice 3
- Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].
Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).
2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.
A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).
B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7
3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos2 π/10 + cos2 4π/10 + cos2 6π/10 + cos2 9π/10
b) Déduire la valeur de la somme : B = sin2 π/10 + sin2 4π/10 + sin2 6π/10 + sin2 9π/10
Exercice 4
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x
- Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
- Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].
Correction devoir surveille N2
Exercice 1
- L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x2 −6x+5
Dƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x2 − 6x + 5 ≠ 0 }
On résout dans ℝ l’équation : x2 − 6x + 5 = 0.
∆ = b2 − 4ac
= (−6)2 − 4 × 1 × 5
= 16 ≻ 0
Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 .
x1 = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x2 = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1
Donc
Dƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}
= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x2 + 2x + 1.
On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :
On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.
Exercice 2
On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x2 + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.
- L’ensemble de définition de la fonction h :
Dh = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}
= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[
- Tableau de variations de h :
b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (Ch).
c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.
2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:
La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.
b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.
Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.
c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.
- Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
- Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
- Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.
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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique
Exercice 1 ( le produit scalaire)
Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*+) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].
- Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
- Montrer que : EF.EG = a2/2 et que : EF.EH = −a2√3.
- Montrer que : GH2 = 5a2 et que : FH2 = (5 + 2√3)a2 .
- Calculer : GF.GH
- On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
- Calculer : GK.
Exercice 2 (le calcul trigonométrique)
- Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos2 x − cos x ≺ 0.
- Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
- Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
- Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan2 x
- Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .
Exercice 3 (transformation dans le plan)
Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.
On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.
- Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
- La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
- Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
- Montrer que : h(C) = E.
Exercice 4
IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.
On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.
- Déterminer le rapport de l’homothétie h.
- Montrer que : h(D) = B.
- La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
a) Montrer que : h(E) = C.
4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.
Correction devoir maison
Exercice 1 (produit scalaire)
On considère la figure suivante :
- Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]
On utilise la relation de Chasles, on obtient :
( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )
≡ π/3 + π/2 [2π]
≡ 5π/6 [2π]
2. Montrons que : EF.EG = a2/2.
EF.EG = EF.EG. cos(FEG)
= a × a × cos (π/3)
= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)
= a2/2
- Montrons que : EF.EH = −a2√3
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Vous pouvez aussi consulter :
Je vous dis merci pour les exercices de maths sur les équations et inéquations trigonométriques. Mais je voudrais que vous me parveniez beaucoup d’exercices corrigés sur les équations et inéquations trigonométriques pour la classe de 1ère C en vue de mieux encadrer ma fille qui est en classe de 1ère C et qui a des difficultés sur les équations et surtout inéquations trigonométriques. Je compte beaucoup sur vous.