Équations du second degré

Équations du second degré cours.(Première spé)

La forme canonique du trinôme (Équations du second degré cours)

Le trinôme du second degré (Équations du second degré cours)

Définition 1

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme :

P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0

Forme canonique du trinôme (Équations du second degré cours)

On considère le trinôme du second degré ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

Donc

ax² + bx + c = a(x² + b/ax + c/a)

= a(x² + 2b/2ax + c/a)

= a(x² + 2 × b/2a × x + (b/2a)² − (b/2a)² + c/a)

= a[(x + b/2a)² − b²/4a² + c/a]

= a[(x + b/2a)² − b²−4ac/4a²]

On obtient la propriété suivante :

Propriété 2 (Équations du second degré cours)

Soient a, b et c des réels tels que a est non nul.

Pour tout x ∈ ℝ on a :

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − b²−4ac/4a²]

L’écriture : a[(x + b/2a)² − b²−4ac/4a²] , s’appelle la forme canonique du trinôme ax² + bx + c.

Racine du trinôme (Équations du second degré cours)

Définition d’équation de second degré (Équations du second degré cours)

Définition 3

L’équation définie par ax² + bx + c = 0 pour tout x ∈ ℝ ou a, b et c sont des réels et a non est non nul est appelée équation de second degré à une inconnue .

Méthode de résolution d’une équation du second degré à une inconnue.

Définition 4

Soient a, b et c des réels tels que a est non nul. On appelle discriminant du trinôme ax² + bx + c, le nombre réel, noté ∆ égal à b² − 4ac.

Remarque 5

Le symbole ∆ se lit delta.

Exemple 6

On considère l’équation (E) : 3x² − 5x + 7 = 0. Déterminer le discriminant de l’équation (E).

On a : a = 3 , b = −5 et c = 7 et comme ∆ = b² − 4ac. Donc :

∆ = b² − 4ac

= (−5)² − 4 × 3 × 7

= − 59

La détermination de l’ensemble des solutions de l’équation du second degré à une inconnue

On considère l’équation du second degré (E) : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.

On sait d’après la forme canonique, que :

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − b²−4ac/4a²]

comme ∆ = b² − 4ac et 4a² = (2a)², donc

ax² + bx + c = 0 ⇔ a[(x + b/2a)² − ∆/4a²] = 0

Ensuite

a[(x + b/2a)² − ∆/4a²] = 0 ⇔ (x + b/2a)² − ∆/(2a)² = 0 ⇔ (x + b/2a)² = ∆/(2a)²

On distingue trois cas :

• Si : ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet pas des solutions dans l’ensemble ℝ. Car (x + b/2a)² ≥ 0 et ∆/(2a)² ≺ 0. Donc

S = ∅ 

• Si : ∆ = 0, alors on obtient :

(x + b/2a)² − ∆/(2a)² = 0 ⇔ (x + b/2a)² = 0 ⇔ x = −b/2a

Donc, l’équation (E) admet une unique solution : x = −b/2a

Donc

S = {− b/2a}

• Si : ∆ ≻ 0, alors on obtient :

(x + b/2a)² − ∆/(2a)² = 0 ⇔ (x + b/2a)² − (√∆/2a)² = 0

⇔ (x + b/2a − √∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a) = 0

⇔  x + b/2a − √∆/2a = 0 ou x + b/2a + √∆/2a = 0

⇔  x = −b/2a + √∆/2a ou x = −b/2a − √∆/2a

⇔  x = −b+√∆/2a ou x = −b−√∆/2a

Ce qui signifie que l’équation admet deux solutions réelles distinctes : −b+√∆/2a et −b−√∆/2a.

Donc

S = {−b+√∆/2a, −b−√∆/2a}

On résume ceci

On considère l’équation (E) : ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) et ∆ le discriminant de l’équation.

• Si ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet aucune solution dans l’ensemble ℝ.

• Si ∆ = 0, alors l’équation (E) admet une solution unique x₀ = −b/2a.

• Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que : x₁ = −b−√∆/2a et x₂ = −b+√∆/2a.

Exemple 7

Résoudre dans l’ensemble ℝ les équations suivantes :

(E₁) : x² − 3x + 2 = 0, (E₂) : x² − 10x + 25 = 0 et (E₃) : 3x² + x + 2 = 0

∎ On résout l’équation (E₁).

Calculons ∆.

∆ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1 ≻ 0.

Alors l’équation (E₁) admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que :

x₁ = −b+√∆/2a = 3+1/2×1 = 2 et x₂ = −b−√∆/2a = 3−1/2×1 = 1

Donc

S = {1, 2}.

∎ On résout l’équation (E₂).

Calculons ∆.

∆ = (−10)² − 4 × 1 × 25 = 0.

Alors l’équation (E₂) admet une solution unique : x₀ = −b/2a

x₀ = −b/2a = 10/2×1 = 5

Donc

S = {5}.

∎ On résout l’équation (E₃).

Calculons ∆.

∆ = 1² − 4 × 3 × 2 = − 23 < 0.

Alors l’équation (E₃) n’admet aucune solution dans l’ensemble ℝ. Donc

S = ∅ 

Somme et produit des solutions d’équation du second degré

Propriété 8

Soit l’équation du second degré ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues x₁ et x₂ :

x₁ = −b+√∆/2a et x₂ = −b−√∆/2a

• La somme des solutions :

x₁ + x₂ = −b/a

• Produit des solutions :

x₁ × x₂ = c/a

Démonstration 9

On considère l’équation (E) : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solution réelles distinctes : x₁ = −b+√∆/2a et x₂ = −b−√∆/2a

(On peut avoir x₁ = x₂). Donc

x₁ + x₂ = −b+√∆/2a + −b−√∆/2a

= −b+√∆−b−√∆/2a

= −2b/2a = −b/a

et on a

x₁ × x₂ = (−b+√∆/2a)(−b−√∆/2a)

= (−b)²−(√∆)²/4a²

= b²−∆/4a²

= b²−(b²−4ac)/4a²

= 4ac/4a² = c/a

Exemple 10

On considère l’équation (E) : 2020x² − 2021x + 1 = 0. Montrer que 1 est une solution de l’équation (E), puis déterminer la deuxième solution.

Si x = 1, alors 2022 × 1² − 2021 × 1 + 1 = 0. Donc l’équation (E) admet 1 comme solution.

Cherchons l’autre solution.

Notons x₁ la première solution et x₂ la deuxième solution, alors x₁ × x₂ = c/a. (c = 1 , a = 2020 et x₁ = 1). Donc

x₂ = 1/2020

Factorisation d’une trinôme du second degré ax² + bx + c , (a ≠ 0)

Propriété 11

Soient a, b et c trois réels tels que a ≠ 0, et ∆ le discriminant du trinôme du second degré ax² + bx + c et (E) l’équation suivante : ax² + bx + c = 0.

• Si ∆ ≺ 0, alors ax² + bx + c ne peut pas être factorisé dans ℝ.

• Si ∆ = 0, alors pour tout x ∈ ℝ, on a :

ax² + bx + c = a(x + b/2a)²

• Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet 2 solutions réelles distinctes x₁ et x₂ et on a :

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Démonstration 12

On considère le trinôme du second degré ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

On sait que la forme canonique, du trinôme ax² + bx + c est :

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − ∆/4a²]

• Si ∆ = 0, alors

ax² + bx + c = a(x + b/2a)²

• Si ∆ ≺ 0, alors

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − ∆/4a²]

• Si ∆ ≻ 0, alors

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − ∆/4a²]

= a[(x + b/2a)² − (√∆/4a)²]

= a[(x + b/2a)² − (√∆/2a)²]

= a(x + b/2a − √∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a)

= a(x + b−√∆/2a)(x + b+√∆/2a)

= a(x − −b+√∆/2a)(x − −b−√∆/2a)

= a(x − x₁)(x − x₂)

avec : x₁ = −b+√∆/2a et x₂ = −b−√∆/2a

Exemple 13

Factoriser dans ℝ les trinômes suivantes : P(x) = 6x² − x − 1 et Q(x) = x² + 3x + 4.

1. P(x) = 6x² − x − 1

Calculons ∆ :

On a : a = 6, b = − 1 et c = − 1, donc :

∆ = b² − 4ac

= (−1)² − 4 × 6 × (−1)

= 25 ≻ 0

Donc, l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂.

x₁ = −b+√∆/2a = 1+√25/2×6 = 1/2 , x₂ = −b−√∆/2a = 1−5/2×6 = −4/12 = −1/3

D’où on obtient :

P(x) = 6(x −1/2)(x + 1/3)

2. Q(x) = x² + 3x + 4

Calculons ∆ :

On a : a = 1, b = 3 et c = 4, donc :

∆ = b² − 4ac

= 3² − 4 × 1 × 4

= −7 ≺ 0

D’où, le trinôme ne peut pas être factoriser dans l’ensemble ℝ.

Signe du trinôme du second degré ax² + bx + c , (a ≠ 0)

Propriété 14

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax² + bx + c, et ∆ son discriminant.

• Si ∆ ≺ 0, alors le signe de ax² + bx + c est le signe de a.
• Si ∆ = 0, alors le signe de ax² + bx + c est le signe de a pour tout x ∈ ℝ différent de −b/2a.
• Si ∆ ≻ 0, alors le signe de ax² + bx + c est donnée par le tableau suivant :

Démonstration 15

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax² + bx + c, et ∆ son discriminant.

• Si ∆ ≺ 0, alors

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − ∆/4a²]

comme ∆ ≺ 0, alors −∆/4a² ≻ 0 ensuite : (x + b/2a)² − ∆/4a² ≻ 0. Donc le signe de ax² + bx + c est le signe de a.

• Si ∆ = 0, alors

ax² + bx + c = a(x + b/2a)²

Si x ≠ −b/2a, alors (x + b/2a)² ≻ 0. Ce qui signifie que le signe de ax² + bx + c est le signe de a.

• Si ∆ ≻ 0, alors ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ et x₂ sont les deux solutions de l’équation : ax² + bx + c = 0.

On détermine le tableau de signe du produit. On suppose que : x₁ ≺ x₂.

Exemple 16

Étudier le signe des trinômes suivants : P(x) = 6x² − x − 1, Q(x) = x² − 10x +25 et R(x) = x² + x + 1

• Calculons le discriminant ∆ du trinôme P(x).

On a: a = 6, b = −1 et c = − 1, donc : ∆ = b² − 4ac = (−1)² − 4 × 6 × (−1) = 25 ≻ 0.

Ce qui signifie que l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que :

x₁ = −b+√∆/2a = 1/2 et x₂ = −b−√∆/2a = −1/3

Comme a = 6 ≻ 0, on déduit le tableau de signe suivant :

Q(x) = x² − 10x + 25

• Calculons le discriminant ∆ du trinôme Q(x).

On a : a = 1, b = −10 et c = 25, donc : ∆ = b² − 4ac = (−10)² − 4 × 1 × 25 = 0.

Ce qui signifie que l’équation Q(x) = 0 admet une unique solution telle que :

x = −b/2a = 10 /2 = 5

Comme a = 6 ≻ 0, alors on déduit que le trinôme Q(x) est strictement positif pour tout x ∈ ℝ ∖ {5}.

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