Équations du second degré

Équations du second degré

Équations du second degré cours.(Première spé)

La forme canonique du trinôme (Équations du second degré cours)

Le trinôme du second degré (Équations du second degré cours)
Définition 1

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme :

P(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0

Forme canonique du trinôme (Équations du second degré cours)

On considère le trinôme du second degré ax2 + bx + c, avec a ≠ 0.

Donc

ax2 + bx + c = a(x2 + b/ax + c/a)

= a(x2 + 2b/2ax + c/a)

= a(x2 + 2 × b/2a × x + (b/2a)2(b/2a)2 + c/a)

= a[(x + b/2a)2 − b2/4a2 + c/a]

= a[(x + b/2a)2 − b2−4ac/4a2]

On obtient la propriété suivante :

Propriété 2 (Équations du second degré cours)

Soient a, b et c des réels tels que a est non nul.

Pour tout x on a :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − b2−4ac/4a2]

L’écriture : a[(x + b/2a)2 − b2−4ac/4a2] , s’appelle la forme canonique du trinôme ax2 + bx + c.

Racine du trinôme (Équations du second degré cours)

Définition d’équation de second degré (Équations du second degré cours)
Définition 3

L’équation définie par ax2 + bx + c = 0 pour tout x ou a, b et c sont des réels et a non est non nul est appelée équation de second degré à une inconnue .

Méthode de résolution d’une équation du second degré à une inconnue.
Définition 4

Soient a, b et c des réels tels que a est non nul. On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c, le nombre réel, noté ∆ égal à b2 − 4ac.

Remarque 5

Le symbole ∆ se lit delta.

Exemple 6

On considère l’équation (E) : 3x2 − 5x + 7 = 0. Déterminer le discriminant de l’équation (E).

On a : a = 3 , b = −5 et c = 7 et comme ∆ = b2 − 4ac. Donc :

= b2 − 4ac

= (−5)2 − 4 × 3 × 7

= − 59

La détermination de l’ensemble des solutions de l’équation du second degré à une inconnue

On considère l’équation du second degré (E) : ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.

On sait d’après la forme canonique, que :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − b2−4ac/4a2]

comme ∆ = b2 − 4ac et 4a2 = (2a)2, donc

ax2 + bx + c = 0 a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2] = 0

Ensuite

a[(x + b/2a)2∆/4a2] = 0 ⇔ (x + b/2a)2 ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 = ∆/(2a)2

On distingue trois cas :

  • Si : ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet pas des solutions dans l’ensemble . Car (x + b/2a)20 et ∆/(2a)2 0. Donc

S = ∅ 

  • Si : ∆ = 0, alors on obtient :

(x + b/2a)2 − ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 = 0 x = −b/2a

Donc, l’équation (E) admet une unique solution : x = −b/2a

Donc

S = {− b/2a}

  • Si : ∆ ≻ 0, alors on obtient :

(x + b/2a)2 ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 (√∆/2a)2 = 0

⇔ (x + b/2a − √∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a) = 0

⇔  x + b/2a − √∆/2a = 0 ou x + b/2a + √∆/2a = 0

⇔  x = −b/2a + √∆/2a ou x = −b/2a − √∆/2a

⇔  x = −b+√∆/2a ou x = −b−√∆/2a

Ce qui signifie que l’équation admet deux solutions réelles distinctes : −b+√∆/2a et −b−√∆/2a.

Donc

S = {−b+√∆/2a, −b−√∆/2a}

On résume ceci

On considère l’équation (E) : ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) et ∆ le discriminant de l’équation.

  • Si ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet aucune solution dans l’ensemble .
  • Si ∆ = 0, alors l’équation (E) admet une solution unique x0 = −b/2a.
  • Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que : x1 = −b−√∆/2a et x2 = −b+√∆/2a.
Exemple 7

Résoudre dans l’ensemble les équations suivantes :

(E1) : x2 − 3x + 2 = 0, (E2) : x2 − 10x + 25 = 0 et (E3) : 3x2 + x + 2 = 0

∎ On résout l’équation (E1).

Calculons ∆.

∆ = (−3)2 − 4 × 1 × 2 = 10.

Alors l’équation (E1) admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :

x1 = −b+√∆/2a = 3+1/2×1 = 2 et x2 = −b−√∆/2a = 3−1/2×1 = 1

Donc

S = {1, 2}.

∎ On résout l’équation (E2).

Calculons ∆.

∆ = (−10)2 − 4 × 1 × 25 = 0.

Alors l’équation (E2) admet une solution unique : x0 = −b/2a

x0 = −b/2a = 10/2×1 = 5

Donc

S = {5}.

∎ On résout l’équation (E3).

Calculons ∆.

= 12 − 4 × 3 × 2 = − 23 < 0.

Alors l’équation (E3) n’admet aucune solution dans l’ensemble . Donc

S = ∅ 

Somme et produit des solutions d’équation du second degré
Propriété 8

Soit l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues x1 et x2 :

x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a

  • La somme des solutions :

x1 + x2 = −b/a

  • Produit des solutions :

x1 × x2 = c/a

Démonstration 9

On considère l’équation (E) : ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solution réelles distinctes : x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a

(On peut avoir x1 = x2). Donc

x1 + x2 = −b+√∆/2a + −b−√∆/2a

= −b+√∆−b−√∆/2a

= −2b/2a = −b/a

et on a

x1 × x2 = (−b+√∆/2a)(−b−√∆/2a)

= (−b)2(√∆)2/4a2

= b2−∆/4a2

= b2(b2−4ac)/4a2

= 4ac/4a2 = c/a

Exemple 10

On considère l’équation (E) : 2020x2 − 2021x + 1 = 0. Montrer que 1 est une solution de l’équation (E), puis déterminer la deuxième solution.

Si x = 1, alors 2022 × 12 − 2021 × 1 + 1 = 0. Donc l’équation (E) admet 1 comme solution.

Cherchons l’autre solution.

Notons x1 la première solution et x2 la deuxième solution, alors x1 × x2 = c/a. (c = 1 , a = 2020 et x1 = 1). Donc

x2 = 1/2020

Factorisation d’une trinôme du second degré ax2 + bx + c , (a ≠ 0)

Propriété 11

Soient a, b et c trois réels tels que a ≠ 0, et ∆ le discriminant du trinôme du second degré ax2 + bx + c et (E) l’équation suivante : ax2 + bx + c = 0.

  • Si ∆ ≺ 0, alors ax2 + bx + c ne peut pas être factorisé dans .
  • Si ∆ = 0, alors pour tout x, on a :

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

  • Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet 2 solutions réelles distinctes x1 et x2 et on a :

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Démonstration 12

On considère le trinôme du second degré ax2 + bx + c, avec a ≠ 0.

On sait que la forme canonique, du trinôme ax2 + bx + c est :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2]

  • Si ∆ = 0, alors

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

  • Si ∆ ≺ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 ∆/4a2]

  • Si ∆ ≻ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 ∆/4a2]

= a[(x + b/2a)2 (√∆/4a)2]

= a[(x + b/2a)2 (√∆/2a)2]

= a(x + b/2a − √∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a)

= a(x + b−√∆/2a)(x + b+√∆/2a)

= a(x − −b+√∆/2a)(x − −b−√∆/2a)

= a(x − x1)(x − x2)

avec : x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a

Exemple 13

Factoriser dans les trinômes suivantes : P(x) = 6x2 − x − 1 et Q(x) = x2 + 3x + 4.

  1. P(x) = 6x2 − x − 1

Calculons ∆ :

On a : a = 6, b = − 1 et c = − 1, donc :

= b2 − 4ac

= (−1)2 − 4 × 6 × (−1)

= 250

Donc, l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2.

x1 = −b+√∆/2a = 1+√25/2×6 = 1/2 , x2 = −b−√∆/2a = 1−5/2×6 = −4/12 = −1/3

D’où on obtient :

P(x) = 6(x −1/2)(x + 1/3)

2. Q(x) = x2 + 3x + 4

Calculons ∆ :

On a : a = 1, b = 3 et c = 4, donc :

= b2 − 4ac

= 32 − 4 × 1 × 4

= −70

D’où, le trinôme ne peut pas être factoriser dans l’ensemble .

Signe du trinôme du second degré ax2 + bx + c , (a ≠ 0)

Propriété 14

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax2 + bx + c, et ∆ son discriminant.

  • Si ∆ ≺ 0, alors le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.
  • Si ∆ = 0, alors le signe de ax2 + bx + c est le signe de a pour tout x différent de −b/2a.
  • Si ∆ ≻ 0, alors le signe de ax2 + bx + c est donnée par le tableau suivant :
Démonstration 15

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax2 + bx + c, et ∆ son discriminant.

  • Si ∆ ≺ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 ∆/4a2]

comme ∆ ≺ 0, alors −∆/4a20 ensuite : (x + b/2a)2 ∆/4a20. Donc le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.

  • Si ∆ = 0, alors

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

Si x ≠ −b/2a, alors (x + b/2a)2 0. Ce qui signifie que le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.

  • Si ∆ ≻ 0, alors ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) avec x1 et x2 sont les deux solutions de l’équation : ax2 + bx + c = 0.

On détermine le tableau de signe du produit. On suppose que : x1 x2.

Exemple 16

Étudier le signe des trinômes suivants : P(x) = 6x2 − x − 1, Q(x) = x2 − 10x +25 et R(x) = x2 + x + 1

  • Calculons le discriminant ∆ du trinôme P(x).

On a: a = 6, b = −1 et c = − 1, donc : ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 6 × (−1) = 25 0.

Ce qui signifie que l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :

x1 = −b+√∆/2a = 1/2 et x2 = −b−√∆/2a = −1/3

Comme a = 60, on déduit le tableau de signe suivant :

Q(x) = x2 − 10x + 25

  • Calculons le discriminant ∆ du trinôme Q(x).

On a : a = 1, b = −10 et c = 25, donc : ∆ = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 × 1 × 25 = 0.

Ce qui signifie que l’équation Q(x) = 0 admet une unique solution telle que :

x = −b/2a = 10 /2 = 5

Comme a = 60, alors on déduit que le trinôme Q(x) est strictement positif pour tout x∖ {5}.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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