DS exponentielle et nombres complexes N2

DS exponentielle et nombres complexes N2

DS exponentielle et nombres complexes N2. Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes version 2 (Bac / Terminale)

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur par : h(x) = e−x + x − 1.

  1. Calculer h′(x) pour tout x, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
  2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de .

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : ƒ(x) = x/x + e−x

  1. Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e−x/(x + e−x)2 pour tout x de .
  2. Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de puis étudier le signe x − ƒ(x) sur .
  4. Déduire de la question précédente que la courbe (Cƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
  5. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et un+1 = ƒ(un), pour tout n.
    1. Montrer que : (∀n) : 0 ≤ un ≤ 1.
    2. Montrer que la suite (un) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
    3. Montrer que : limn→+∞ un = 0.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

  1. Résoudre dans l’équation : (E) : 2z2 + 2z + 5 = 0.
  2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
    1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
  3. On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
    1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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