par Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s. (1ère année bac)
Exercice 1
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 2 − √x2+3/x
- Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0− ƒ(x).
- En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3
puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.
b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.
4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.
5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :
ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2
- Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
- Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
- Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
- Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
- Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
- a) Montrer que :
(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1
b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur ℝ.
c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.
5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 2 − √x2+3/x
- a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0− ƒ(x)
limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞
et
limx→0− ƒ(x) = limx→0− 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0− √x2+3/x = −∞
b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0− ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.
2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.
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