par Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac. (Première s/ 1ère année bac)
Exercice 1
- Soient a, b, x et y des réels non nuls.
Montrer que :
ax + by = 1 ⇒ 1/x2+y2 ≤ a2 + b2
2. Montrer que :
∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1
3. Soient a, b et c des réels.
a) Vérifier que : (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab.
b) Montrer que :
∣ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c
4. Montrer que :
∀(x, y) ∈ ℝ2*, y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7
5. n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair. Montrer que : n/m ∉ ℕ.
Exercice 2
- Montrer que :
∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , √a+1 − √b+1 < √a − √b ⇔ a ≻ b
2. Montrer que :
∀(x, y) ∈ ℝ2, √x2+1 + √y2+1 = 2 ⇔ x = y = 0
3. Soient a et b deux réels non nuls.
a) Montrer que :
(a + 1/a) = (b + 1/b) ⇔ (a = b ou a = 1/b)
b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : x2 + 1/x2 = 17/4.
Exercice 3
- Soit n ∈ ℕ. On pose : un = (1 + 1)2 × (1 + 1/3)2 × (1 + 1/5)2 × … × (1 + 1/2n+1)2.
- Montrer que : ∀n ∈ ℕ, un+1 = un(1 + 1/2n+3)2.
- Montrer que : ∀n ∈ ℕ, un ≻ 2n +3.
- Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 6 divise n(n + 1)(n + 2) .
Exercice 4
Résoudre dans ℝ2 le système suivant :
{ x3 + x2 − 2 = 0 et x2 + xy − y + y2 = 0
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Soient (a, b, x, y) ∈ ℝ4*.
On suppose que ax + by = 1, et on montre que : 1/x2+y2 ≤ a2 + b2 .
1/x2+y2 − (a2 + b2) = 1−(x2+y2)(a2+b2)/x2+y2
= 1−(a2x2 + b2x2 + a2y2 + y2b2)/x2+y2
= 1−(a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2)/x2+y2
= 1−((ax + by)2 − 2axby + a2y2 + b2x2)/x2+y2
= 1−(1 − 2axby + a2y2+ b2x2)/x2+y2
= 1−1+2axby−a2y2−b2x2/x2+y2
= −(a2y2 − 2aybx + b2x2)/x2+y2
= −(ay − bx)2/x2+y2
Donc 1/x2+y2 − (a2 + b2) ≤ 0, c’est-à-dire : 1/x2+y2 ≤ a2 + b2. D’où
ax + by = 1 ⇒ 1/x2+y2 ≤ a2 + b2 .
2. Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2.
a2 = b + 1
⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.
Donc
∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2. a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.
3. a) Soient (a, b, c) ∈ ℝ3.
(a + b)2 − (a − b)2 = a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2
= 4ab
b) Soient (a, b, c) ∈ ℝ3.
L’assertion : ∣ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a − b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c, est équivalente à :
∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c ⇒ ∣ab∣ ≤ c2/2 .
On suppose que ∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c et on montre que : ∣ab∣ ≤ c2/2 .
On a 4ab = (a + b)2 − (a − b)2 , donc
∣4ab∣ = ∣(a + b)2 − (a − b)2∣ ≤ ∣a + b∣2 + ∣a − b∣2
et comme ∣a + b∣2 ≤ c2 et ∣a − b∣2 ≤ c2 , alors
∣4ab∣ ≤ 2c2
par suite
∣ab∣ ≤ c2/2.
Par contraposition ceci équivalent à :
∣ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c
4. Soit (x, y) ∈ ℝ2*
L’assertion : y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7, est équivalent à :
x−y/x+y = 7 ⇒ y = −3/4x
On a
x−y/x+y = 7
⇒ x − y = 7(x + y)
⇒ − y − 7y = −x + 7x
⇒ −8y = 6x
⇒ y = −6x/8
⇒ y = −3/4x
Par contraposition ceci équivalent à :
∀(x, y) ∈ ℝ2*, y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7
5. Soient n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair.
On suppose par l’absurde que : n/m ∈ ℕ. Donc
∃p ∈ ℕ, n/m = p
Alors n = p.m, ce qui est contradictoire puisque n est impair et m.p est pair. Donc
n/m ∉ ℕ
Exercice 2
- Soient (a, b) ∈ ([0, +∞[)2 .
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