par Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s. (1ère année bac)
Exercice 1
- Calculer la dérivée de la fonction : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
- Déduire la valeur de la limite suivante :
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2
- Vérifier que : Dƒ = [0, 2] .
- Montrer que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
- La fonction ƒ est-elle dérivable à gauche en x0 = 2 ? justifier votre réponse puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
- Montrer que ƒ est dérivable sur l’intervalle ]0, 2[ et que :
(∀x ∈ ]0, 2[) , ƒ′(x) = 2x2−4x+1/√2x−x2
4. Dresser le tableau de variations de ƒ.
5. On considère un demi cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] avec AB = 2. M est un point variable du segment [OA] avec M ≠ O et M ≠ A.
N et P sont deux points du demi-cercle (C) et Q un point du segment [OB] tels que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. On pose : x = AM et on désigne par S (x) la surface du rectangle MNPQ.
Montrer que :
(∀x ∈ ]0, 1[) , S(x) = 2ƒ(x)
puis en déduire la position du point M pour la quelle du rectangle MNPQ est maximale.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Calculons la dérivée de la fonction suivante : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
La fonction ƒ est dérivable sur ℝ comme la somme de deux fonctions dérivables sur ℝ. u : x → sin (πx) et v : x → 3 cos (π/2x).
Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ℝ.
ƒ′(x) = (sin (πx) + 3 cos (π/2x))′
= (sin (πx))′ + (3 cos (π/2x))′
= π cos (πx) − 3 × π/2 sin(π/2x)
= π cos (πx) − 3π/2 sin(π/2x)
Calculons la valeur de la limite suivante : limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = limx→−1 ƒ(x)−ƒ(−1)/x+1 = ƒ′(−1)
Calculons ƒ′(−1)
ƒ′(−1) = π cos (−π) − 3π/2 sin(−π/2) = −π + 3π/2 = π/2
Donc
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = π/2
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2
- Vérifions que : Dƒ = [0, 2].
Dƒ = {x ∈ ℝ/ 2x − x2≥ 0}
= {x ∈ ℝ/ x(2 − x) ≥ 0}
Le tableau de signe de l’expression : x(2 − x) .
2. a) Montrons que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞.
limx→0+ ƒ(x)/x = limx→0+ (1 − x)√2x−x2/x
= limx→0+ (1 − x)x√2/x−1/x
= limx→0+ (1 − x)√2/x−1 = +∞
D’où on obtient
limx→0+ ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = +∞
La fonction ƒ n’est pas dérivable à droite de 0. La courbe (Cƒ) admet une demi-tangente verticale vers le haut à droite de 0.
b) La dérivabilité de la fonction ƒ à gauche de 2.
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