par Devoir surveillé sur l’étude des fonctions et la dérivation 1 bac. (1ère S/ 1ère année bac)
Exercice (20 pts)
On considère la fonction g définie sur ℝ par : g(x) = x3 + x + 2.
et (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
a) Calculer limx→+∞ g(x) et limx→−∞ g(x).
b) Déterminer les branches infinies de la courbe (Cg).
c) Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , g′(x) = 3x2 + 1.
d) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
e) Étudier la concavité de (Cg) et déterminer le point d’inflexion de (Cg).
f) Calculer g(−1), puis déduire le signe de g(x) pour tout x ∈ ℝ.
On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x + 1 − x+1/x2.
et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O, i , j ).
a) Déterminer Dƒ, puis calculer les limites aux bornes de Dƒ.
b) Déterminer les branches infinies de la courbe (Cƒ).
c) Montrer que ƒ est dérivable sur Dƒ et que : (∀x ∈ Dƒ) , ƒ′(x) = g(x)/x3.
d) Dresser le tableau de variation de ƒ.
e) Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) par rapport à la droite (∆) d’équation y = x + 1.
f) Tracer la courbe (Cƒ).
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
On considère la fonction définie sur ℝ par : g(x) = x3 + x + 2.
a) limx→+∞ g(x) = limx→+∞ x3 + x + 2 = limx→+∞ x3 = +∞ et limx→−∞ g(x) = limx→−∞ x3 = −∞.
b) On a limx→+∞ g(x)/x = limx→+∞ x3/x = limx→+∞ x2 = +∞ et limx→−∞ g(x)/x = +∞.
La courbe (Cg) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞ et −∞.
c) La fonction g est dérivable sur ℝ. On a
g′(x) = (x3 + x + 1)′ = 3x2 + 1
d) On a g′(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ. Donc la fonction g est strictement croissante sur ℝ. D’où
e) La fonction g est 2 fois dérivables sur ℝ. On a
(∀x ∈ ℝ) , g″(x) = 6x
Donc
La fonction g″ s’annule en 0 et change de signe donc le point A(0, 2) est un point d’inflexion de la courbe (Cg).
f) On a g(−1) = 0, donc
2. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x + 1 − x+1/x2.
a) On a Dƒ = {x ∈ ℝ/ x2 ≠ 0} = ℝ* = ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.
limx→+∞ ƒ(x) = limx→+∞ x + 1 − x+1/x2 = +∞. Car limx→+∞ x + 1 = +∞ et limx→+∞ − x+1/x2 = 0.
limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ x + 1 − x+1/x2 = −∞. Car limx→−∞ x + 1 = −∞ et limx→−∞ − x+1/x2 = 0.
On calcule limx→0 ƒ(x) :
On a limx→0 x + 1 = 1 et limx→0 x2 = 0+ car pour tout réel x ≠ 0, x2 > 0, donc limx→0 − x+1/x2 = −∞, d’où
limx→0 ƒ(x) = −∞
b) On a limx→±∞ (ƒ(x) − (x + 1)) = limx→±∞ − x+1/x2 = limx→±∞ −x/x2 = limx→±∞ −1/x = 0. Donc la courbe (Cƒ) admet une asymptote oblique d’équation y = x + 1 au voisinage de +∞ et −∞.
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