Devoir sur les polynômes et les équations inéquations et systèmes

Devoir surveillé sur les polynômes et les équations inéquations et systèmes. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (3 pts)

1. Résoudre dans ℝ les équations (E) : x² − 3x + 2 = 0 et (E′) : x² + 3x + 4 = 0.
2. En déduire l’ensemble des solutions dans ℝ de l’inéquation (I) : x²+3x+4/x²−3x+2 > 0.

Exercice 2 (11 pts) 

1. a) Résoudre dans ℝ l’équation (E) : 2x² + 4x − 6 = 0.

b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : 2x + 4√x − 6 = 0.

2. On considère le polynôme P(x) = 2x³ − 7x² + 7x − 2.

a) Vérifier que 0 n’est pas une racine du polynôme P(x).

b) Montrer que si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.

c) Montrer que 2 est une racine du polynôme P(x).

d) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2).Q(x)

e) Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré 1.

3. Résoudre dans ℝ l’inéquation P(x) ≤ 0.

4. Résoudre dans ℝ l’équation : 2∣x∣³ − 7x² + 7∣x∣ − 2 = 0.

5. Soit α un réel tel que : 2 < α < 3.

Donner un encadrement pour α − 1 et α − 2, puis déduire un encadrement pour P(α).

Exercice 3 (6 pts) 

1. 1. Résoudre dans ℝ² l’équation (E) : 4x + y + 3 = 0.
   2. Déduire graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquations (I) : 4x + y + 3 > 0.
2. Résoudre dans ℝ² le système suivant (S) : { x + 2y = 4 et −x + 4y = 2 .
3. Résoudre graphiquement le système suivant (S) : { 4x + y − 5 ≤ 0 et −x + y − 2 ≤ 0

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Correction du devoir surveillé 

Exercice 1

1. Résolvons dans ℝ les équations (E) et (E′) :

∎ Calculons le discriminant ∆ de l’équation (E) :

On a ∆ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1 > 0. Donc l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que :

x₁ = 3−√1/2×1 = 1 et x₂ = 3+√1/2×1 = 2

d’où l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {1, 2}

∎ On a ∆ = b² − 4ac = 3² − 4 × 1 × 4 = − 7 < 0. Donc l’équation (E′) n’admet pas des solutions dans ℝ. D’où

S = Ø

2. On déduit dans ℝ l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) : x²+3x+4/x²−3x+2 > 0.

On cherche l’ensemble de définition de l’inéquation (I) :

D = {x ∈ ℝ/ x² − 3x + 2 ≠ 0}

On sait d’après la question précédente que l’équation x² − 3x + 2 = 0 admet deux solutions 1 et 2 donc

D = {x ∈ ℝ/ x ≠ 1 et x ≠ 2} = ℝ∖ {1, 2}

d’où l’inéquation (I) est définie sur ℝ∖ {1, 2}.

Puisque le signe de x²+3x+4/x²−3x+2 dépend du signe des trinômes x² + 3x+ 4 et x² − 3x + 2.

Donc on obtient le tableau de signe suivant :

donc l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) est :

S = ]−∞, 1[∪]2, +∞[

Exercice 2

1. a) Résolvons dans ℝ l’équation (E) : 2x² + 4x − 6 = 0.

Calculons le discriminant ∆ :

On a ∆ = b² − 4ac = 4² − 4 × 2 × (−6) = 64 > 0. Donc l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ telles que :

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