Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles. (Bac / Terminale)

Exercice 1 (Les nombres complexes)

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 − √2z + 1 = 0.
  2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
    1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est nombre réel.
    2. Déduire les entiers naturel n tels que : an .
    3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b2 = a.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
    1. Vérifier que : z′ = bz.
    2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
    1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
    2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
  4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
    1. Vérifier que l’affixe de D est b2 + 1.
    2. Montrer que : b2 +1/b = b + b et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i√3 , zB = 2i et zI = 1/2 + i√3 +2/2.

  1. Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle.
  2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
  3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
  4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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