Devoir maison sur le calcul trigonométrique

Devoir maison sur le calcul trigonométrique. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1

1. Construire dans le plan orienté, le triangle isocèle ABC tel que :

(BC, BA) ≡ 2π/3 [2π].

2. Déterminer en radian la mesure des angles orientés : (AB, AC) , (AB, BC) et (CA, BC).

Exercice 2

Soit a, b et α des réels tels que a + b ≠ 0 et α ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ on pose

x = a/cosα + btanα et y = b/cosα + atanα

1. Montrer que : x+y/a+b = 1+sinα/cosα.
2. Si x + y = 2(a + b) et α ∈ ]−π/2, π/2[, calculer cosα et sinα.

Exercice 3

Si sinπ/5 = √10−2√5/4, calculer sin101π/5 , cos4π/5 et sin(−49π/5).

Exercice 4

Soient β et c deux réels tels que cosα = b. Calculer en fonction de b :

cos(5π − α) + sin(13π/2 + α) + cos(11π + α) + sin(31π/2 + α)

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Correction du devoir maison 

Exercice 1

1. Construction du triangle ABC :
2. On cherche les mesures des angles orientés : (AB, AC) , (AB, BC) et (CA, BC).

∎ Le triangle ABC est isocèle en B et comme ABC = 2π/3 donc BAC = π/6, et comme l’angle (AB,AC) est orienté positivement donc π/6 est la mesure principale de l’angle orienté (AB, AC).

∎ On a (AB, BC) ≡ (−BA, BC)[2π] et comme (−BA, BC) ≡ π − (BC, BA)[2π] c’est-à-dire (−BA, BC) ≡ π − 2π/3 [2π] d’où (−BA, BC) ≡ π/3 [2π] donc

(AB, BC) ≡ π/3 [2π]

d’où π/3 est la mesure principale de l’angle orienté (AB, BC).

∎ On a (CA, BC) ≡ (CA, −CB)[2π] et comme

(CA, −CB) ≡ (CB, −CB) − (CB, CA)[2π]

c’est-à-dire (CA, −CB) ≡ −π − (CB, CA)[2π] (*). Cherchons la mesure de l’angle (CB, CA).

On a BCA + ABC + BAC = π et comme le triangle ABC est isocèle et ABC = 2π/3 donc : BCA = π/6 comme l’angle (CB, CA) est orienté négativement donc (CB, CA) ≡ −π/6[2π] d’où d’après (*) on obtient

(CA, −CB) ≡ −π + π/6[2π]

= −5π/6[2π]

donc

(CA, BC) ≡ −5π/6[2π]

d’où −5π/6 est la mesure principale de l’angle orienté (CA, BC).

Exercice 2

Soit a, b et α des réels tels que a + b ≠ 0 et α ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ on pose

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