Cours produit scalaire

Cours produit scalaire

Cours produit scalaire première spé.

Le produit scalaire de deux vecteurs (Cours produit scalaire première spé)

La norme du vecteur

Définition 1

Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u = AB. La norme du vecteur u , notée ∥ u ∥ est la distance AB.

Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

Définition 2

Soient u et v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v , le nombre réel noté u . v .

  • Si les vecteurs u et v sont de même sens alors : u . v = u ∥ × ∥ v ∥.
  • Si les vecteurs u et v sont de sens contraires alors : u . v = − ∥ u ∥ × ∥ v ∥.

Formule trigonométrique du produit scalaire

Définition 3

Soient A, B et C trois points du plan tels que A ≠ C et A ≠ B.

le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est le nombre :

AB.AC = AB × AC × cos(BAC).

Soient u et v deux vecteurs nuls, le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre :

u . v =u ∥ × ∥ v ∥ × cos( u , v )

Exemple 4

Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC = π/4. Calculer AB.AC.

On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire :

AB.AC = AB × AC × cos(BAC)

= 3 × 2 × cos (π/4)

= 6 × √2/2 = 3√2

Exemple 5

Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ π/3 [] et ∥ u= 2 et ∥ v ∥ = 4. Calculer u . v .

u . v =u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v )

= 2 × 4 × cos(π/3)

= 4

Vecteurs orthogonaux

Propriété 6

Soient u et v deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.

Propriétés du produit scalaire

Propriété 7

Soient u , v et w trois vecteurs et pour tout k dans on a :

  • u . v = v . u (On dit que le produit scalaire est commutatif).
  • ( u + v )w = u . w + v . w et (k. u). v = u .(k . v) = k( u . v) . (Linéarité du produit scalaire).
  • u . u = u2 =u 2 (c’est un nombre positif).

Conclusion 8

On conclut les résultats suivants :

  1. ( u + v )2 = u2 + 2 u.v + v2 =u2 + 2 u.v +v2
  2. ( u − v )2 = u2 − 2 u.v + v2 =u2 − 2 u.v +v2
  3. u . v = 1/2[∥ u + v2 − ∥ u2v2 ]
  4. ( u + v )( u − v ) = u2 − v2 =u2 − ∥ v2

Exemple 9

Soient u et v deux vecteurs tels que : u . v = 5 et ∥ u= 3 et ∥ v= 2.

Calculer ( u + v )u et ( u + v )2 .

Applications du produit scalaire

Les relations métriques dans le triangle rectangle

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur.

Théorème 10 (Pythagore)

Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 .

BC2 = BC2 = (BC + AC)2 = BA2 +BA.AC + AC2 = BA2 + AC2 = AB2 + AC2

Autre résultats

BA2 = BH × BC et CA2 = CH × BC et AH2 = HB × HC et AB × AC = AH × BC

Théorème d’Al Kashi

Soit ABC un triangle. Calculer BC2 en fonction de AB et AC et cos ( A ) .

On commence par BC2 :

BC2 = BC2

=(BA + AC)2

= BA2 + 2BA.AC + AC2

= BA2 − 2BA.AC + AC2

= BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A)

Théorème 11

Dans un triangle ABC , on a : BC2 = BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A).

Par le même façon on obtient : AC2 = AB2 + BC2 −2AB.BC.cos(B) et AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC.cos(C)

Exemple 12

Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB = √3 et A = π/6. Calculer BC et cos(C).

On a d’après le théorème d’Al Kashi :

BC2 = BA2 + AC2 − 2AB. AC. cos(A)

= (√3)2 + 22 − 2 × √3 × 2 × cos(π/6)

= 3 + 4 − 4√3 × √3/2

= 1

Donc : BC = 1.

On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :

AB2 = AC2 + BC2 −2AC. BC. cos(C) ⇔  cos(C) = AC2+BC2−AB2/2AC.BC = 22+12−(√3)2/2×2×1 = 1/2

Donc : C = π/3.

Théorème de la médiane

Soit ABM un triangle et I est le milieu de [AB]. Calculer MB2 + MA2 en fonction de AB et MI.

MB2 + MA2 = MB2 + MA2

= (MI + IB)2 + (MI + IA)2

= MI2 + 2MI.IB + IB2 + MI2 + 2MI.IA + IA2

= 2MI2 + 2MI(IB + IA)=0 + 2IB2 , (IB = AB/2)

= 2MI2 + 1/2AB2

= 2MI2 + 1/2AB2

Théorème 12

Soit ABM un triangle si I est le milieu de [AB] alors :

MB2 + MA2 = 2MI2 + 1/2AB2

Exemple 13

Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB] . On donne : BC = 5, AC = 7 et AB = 8. Calculer CK.

Cliquer ici pour télécharger Cours produit scalaire (Partie 01) Première spé

Produit scalaire et orthogonalité (Cours produit scalaire première spé partie 02)

Vecteurs orthogonaux

Propriété 1

Soient u et v deux vecteurs non nuls.

Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.

Projection orthogonale

Définition 2

La projection d’un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite orthogonale (∆) s’appelle la projection orthogonale sur (∆).

Équation d’un cercle définie par son diamètre

Propriété 3

On considère deux points A et B du plan. Le cercle (C) de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que MA. MB = 0.

Démonstration 4

Soit M(x, y) un point du plan.

M(x, y) ∊ (C) ⇔ M = A ou M = B ou AMB est un triangle rectangle en M.

⇔ MA. MB = 0.

Exemple 5

Déterminons une équation du cercle (C) de diamètre [AB] tel que A(1, 3) et B(−1, 1) .

Soit M(x, y) un point du plan.

M(x, y) ∊ (C) ⇔ AM.BM = 0

⇔ (x − 1)(x + 1) + (y − 3)(y − 1) = 0

⇔ x2 + y2 − 4y + 2 = 0.

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , i , j ).

Propriété 6

Soit u (x, y) et v ( x′, y′) deux vecteurs du plan, on a

u . v = x.x′ + y.y′.

Démonstration 7

Soit u = xi + yj et v = x′i + y′j . Alors

u . v = (xi + yj)(x′i + y′j)

= xx′ii + xy′ij + yx′ji + yy′jj

= xx′i 2 + xy′ij + yx′ji + yy′j2

= xx′ + yy′

Exemple 8

Dans un repère orthonormé ( O , i , j ) , u (6, 3); v (3, −1) et w (−2, 2).

Calculer u . v ; u . w et v . w .

u . v = 6 × 3 + 3 × (−1) = 15.

u . w = 6 × (−2) + 3 × 2 = − 6.

v . w = 3 × (−2) + (−1) × 2 = − 8.

Cliquer ici pour télécharger Cours produit scalaire (Partie 02) Première spé

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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