par Cours produit scalaire première spé.
Le produit scalaire de deux vecteurs (Cours produit scalaire première spé)
La norme du vecteur
Définition 1
Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u = AB. La norme du vecteur u , notée ∥ u ∥ est la distance AB.
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Définition 2
Soient u et v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v , le nombre réel noté u . v .
- Si les vecteurs u et v sont de même sens alors : u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥.
- Si les vecteurs u et v sont de sens contraires alors : u . v = − ∥ u ∥ × ∥ v ∥.
Formule trigonométrique du produit scalaire
Définition 3
Soient A, B et C trois points du plan tels que A ≠ C et A ≠ B.
le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est le nombre :
AB.AC = AB × AC × cos(BAC).
Soient u et v deux vecteurs nuls, le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre :
u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos( u , v )
Exemple 4
Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC = π/4. Calculer AB.AC.
On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire :
AB.AC = AB × AC × cos(BAC)
= 3 × 2 × cos (π/4)
= 6 × √2/2 = 3√2
Exemple 5
Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ π/3 [2π] et ∥ u ∥ = 2 et ∥ v ∥ = 4. Calculer u . v .
u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v )
= 2 × 4 × cos(π/3)
= 4
Vecteurs orthogonaux
Propriété 6
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.
Propriétés du produit scalaire
Propriété 7
Soient u , v et w trois vecteurs et pour tout k dans ℝ on a :
- u . v = v . u (On dit que le produit scalaire est commutatif).
- ( u + v )w = u . w + v . w et (k. u). v = u .(k . v) = k( u . v) . (Linéarité du produit scalaire).
- u . u = u2 = ∥ u ∥2 (c’est un nombre positif).
Conclusion 8
On conclut les résultats suivants :
- ( u + v )2 = u2 + 2 u.v + v2 = ∥ u ∥2 + 2 u.v + ∥ v ∥2
- ( u − v )2 = u2 − 2 u.v + v2 = ∥ u ∥2 − 2 u.v + ∥ v ∥2
- u . v = 1/2[∥ u + v ∥2 − ∥ u ∥2 − ∥ v ∥2 ]
- ( u + v )( u − v ) = u2 − v2 = ∥ u ∥2 − ∥ v ∥2
Exemple 9
Soient u et v deux vecteurs tels que : u . v = 5 et ∥ u ∥ = 3 et ∥ v ∥ = 2.
Calculer ( u + v )u et ( u + v )2 .
Applications du produit scalaire
Les relations métriques dans le triangle rectangle
Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur.
Théorème 10 (Pythagore)
Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 .
BC2 = BC2 = (BC + AC)2 = BA2 +BA.AC + AC2 = BA2 + AC2 = AB2 + AC2
Autre résultats
BA2 = BH × BC et CA2 = CH × BC et AH2 = HB × HC et AB × AC = AH × BC
Théorème d’Al Kashi
Soit ABC un triangle. Calculer BC2 en fonction de AB et AC et cos ( A ) .
On commence par BC2 :
BC2 = BC2
=(BA + AC)2
= BA2 + 2BA.AC + AC2
= BA2 − 2BA.AC + AC2
= BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A)
Théorème 11
Dans un triangle ABC , on a : BC2 = BA2 + AC2 −2AB.AC.cos(A).
Par le même façon on obtient : AC2 = AB2 + BC2 −2AB.BC.cos(B) et AB2 = AC2 + BC2 −2AC.BC.cos(C)
Exemple 12
Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB = √3 et A = π/6. Calculer BC et cos(C).
On a d’après le théorème d’Al Kashi :
BC2 = BA2 + AC2 − 2AB. AC. cos(A)
= (√3)2 + 22 − 2 × √3 × 2 × cos(π/6)
= 3 + 4 − 4√3 × √3/2
= 1
Donc : BC = 1.
On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :
AB2 = AC2 + BC2 −2AC. BC. cos(C) ⇔ cos(C) = AC2+BC2−AB2/2AC.BC = 22+12−(√3)2/2×2×1 = 1/2
Donc : C = π/3.
Théorème de la médiane
Soit ABM un triangle et I est le milieu de [AB]. Calculer MB2 + MA2 en fonction de AB et MI.
MB2 + MA2 = MB2 + MA2
= (MI + IB)2 + (MI + IA)2
= MI2 + 2MI.IB + IB2 + MI2 + 2MI.IA + IA2
= 2MI2 + 2MI(IB + IA)=0 + 2IB2 , (IB = AB/2)
= 2MI2 + 1/2AB2
= 2MI2 + 1/2AB2
Théorème 12
Soit ABM un triangle si I est le milieu de [AB] alors :
MB2 + MA2 = 2MI2 + 1/2AB2
Exemple 13
Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB] . On donne : BC = 5, AC = 7 et AB = 8. Calculer CK.
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Produit scalaire et orthogonalité (Cours produit scalaire première spé partie 02)
Vecteurs orthogonaux
Propriété 1
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0.
Projection orthogonale
Définition 2
La projection d’un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite orthogonale (∆) s’appelle la projection orthogonale sur (∆).
Équation d’un cercle définie par son diamètre
Propriété 3
On considère deux points A et B du plan. Le cercle (C) de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que MA. MB = 0.
Démonstration 4
Soit M(x, y) un point du plan.
M(x, y) ∊ (C) ⇔ M = A ou M = B ou AMB est un triangle rectangle en M.
⇔ MA. MB = 0.
Exemple 5
Déterminons une équation du cercle (C) de diamètre [AB] tel que A(1, 3) et B(−1, 1) .
Soit M(x, y) un point du plan.
M(x, y) ∊ (C) ⇔ AM.BM = 0
⇔ (x − 1)(x + 1) + (y − 3)(y − 1) = 0
⇔ x2 + y2 − 4y + 2 = 0.
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , i , j ).
Propriété 6
Soit u (x, y) et v ( x′, y′) deux vecteurs du plan, on a
u . v = x.x′ + y.y′.
Démonstration 7
Soit u = xi + yj et v = x′i + y′j . Alors
u . v = (xi + yj)(x′i + y′j)
= xx′ii + xy′ij + yx′ji + yy′jj
= xx′∥ i ∥2 + xy′ij + yx′ji + yy′∥ j ∥2
= xx′ + yy′
Exemple 8
Dans un repère orthonormé ( O , i , j ) , u (6, 3); v (3, −1) et w (−2, 2).
Calculer u . v ; u . w et v . w .
∎ u . v = 6 × 3 + 3 × (−1) = 15.
∎ u . w = 6 × (−2) + 3 × 2 = − 6.
∎ v . w = 3 × (−2) + (−1) × 2 = − 8.
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