Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac

Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac)

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x)

1. Déterminer D_ƒ.
   1. Montrer que : (∀x ∈ D_ƒ), ƒ(x) = 2cos(2x)/sin(3x) .
   2. En déduire que : 1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8 et tanπ/8 = √2 − 1.
2. Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : (√2 − 1)cos(2x) + sin(2x) = 1.
3. Prouver que : 1/sin2π/7 − 1/sin3π/7 = 1/sinπ/7 .

Exercice 2 (Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac)

Pour tout x ∈ ℝ. On pose : A(x) = cos(4x) − sinx.

Soit θ un nombre réel de l’intervalle  ]0, π/2[ tel que : sin θ = √5−1/4 .

1. Montrer que : cos θ = √10+2√5/4 et que : cos(2θ) = √5+1/4.
2. Calculer cos (4θ), puis en déduire que : A(θ) = 0.
3. Résoudre dans ]0, π/2[ l’équation : A(x) = 0, puis en déduire que : θ = π/10.
4. Résoudre dans ℝ l’équation suivante :

(E) : √10+2√5.cos x + (√5 − 1)sin x = 2

Exercice 3

1. Montrer que : cos (4x) − cos (2x) = (2cos(2x) + 1)(cos(2x) − 1).
2. Étudier le signe de cos (4x) − cos (2x) sur l’intervalle [0, π].
3. En déduire les solutions de l’inéquation : cos (4x) ≻ cos (2x) sur l’intervalle [− π, π].

Exercice 4

Soit a un réel.

1. Calculer √2cos(a − π/4) en fonction de cos a et sin a, puis déduire que :

cos a. sin a = cos² (a − π/4) − 1/2.

2. On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = cos (4x) + sin (4x) − √2 sin(8x).

a) Montrer que pour tout x de ℝ, on a : ƒ(x) = √2[−2cos²(4x − π/4) + cos (4x − π/4) + 1].

b) Montrer que pour tout x de ℝ, on a : ƒ(x) = 2√2sin²(2x − π/8)[1+ 2cos(4x − π/4)].

3. Résoudre dans ℝ l’équation : ƒ(x) = 0.

Exercice 5

On considère la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = sinx−cosx/sin(2x)−√2cosx

1. Résoudre dans ℝ l’équation : sin(2x) − √2cosx = 0.
2. Déduire D_ƒ.

{ tan x ≻ 1 et sin x ≻ √2/2

Exercice 6

Résoudre dans [− π/2, π/2] l’inéquation :

cos(3x)+2cosx/sinx−√3cosx ≥ 0.

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Correction de la série

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x).

1. On cherche D_ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ / sin x ≠ 0 et sin 3x ≠ 0} 

= {x ∈ ℝ / x ≠ kπ et 3x ≠ kπ , k ∈ ℤ}

= {x ∈ ℝ / x ≠ kπ et x ≠ kπ/3 , k ∈ ℤ}

= ℝ∖ { kπ, kπ/3 / k ∈ ℤ}

2. a) Montrons que : (∀x ∈ D_ƒ) , ƒ(x) = 2cos2x/sin3x

Soit x ∈ D_ƒ.

ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x)

= sin3x−sinx/sinx.sin3x

= 2cos(3x+x/2). sin(3x−x/2)/sinx.sin3x

= 2cos2x.sinx/sinx.sin3x

= 2cos2x/sin3x

donc

(∀x ∈ D_ƒ) , ƒ(x) = 2cos2x/sin3x

b) ∎ On déduit que : 1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8

Remarquons que :

ƒ(π/8) = 2cos(2 × π/8)/sin(3 × π/8)

= 2cos(π/4)/sin(3π/8)

= 2×√2/2/sin(4π− π/8)

= √2/sin(π/2−π/8)

= √2/cosπ/8. (1)

d’autre part, on a ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x) pour tout x ∈ D_ƒ donc

ƒ(π/8) = 1/sinπ/8 − 1/sin(3π/8) = 1/sinπ/8 − 1/sin(π/2 − π/8) = 1/sinπ/8 − 1/cos/π/8 (2)

donc d’après (1) et (2) on déduit que

1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8

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Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique 1 bac

Exercice 1

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation :

cos x − √3sin x < 1.

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tel que : tan θ = 2 − √3.

1. Montrer que : sin (2θ) = 1/2, puis en déduire la valeur de θ.
2. On considère dans ℝ l’équation : (E) : cos (2x) − cos (2x + π/6) = 2−√3/2.
   1. Prouver que : (E) ⇔ sin (2x + θ) = sin θ.
   2. Résoudre dans ℝ l’équation (E).
3. Résoudre dans [0, π] l’inéquation :

(I) : cos (2x) − cos (2x + π/6) ≤ 2−√3/2

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. On résout dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation : cos x − √3sin x < 1.

Soit x ∈ [0, 2π] .

cos x − √3sin x = 2(1/2. cos x − √3/2. sin x)

= 2(cos π/3. cos x − sin π/3. sin x)

= 2cos(x + π/3).

Donc

cos x − √3sin x < 1 ⇔ cos(x + π/3) < 1/2.

On pose X = x + π/3 puisque x ∈ [0, 2π] c’est-à-dire 0 ≤ x ≤ 2π c’est équivaux à

π/3 ≤ x + π/3 ≤ 2π + π/3

⇔ π/3 ≤ x + π/3 ≤ 7π/3

⇔ x + π/3 ∈ [π/3, 7π/3] .

On commence par résoudre dans [π/3, 7π/3] l’équation (E) : cos X = 1/2.

cos X = 1/2

⇔ cos X = cos π/3

⇔ { X = π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou X = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [π/3, 7π/3] .

• On a

π/3 ≤ π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 0 ≤ k ≤ 1

comme k ∈ ℤ, alors k ∈ {0, 1} . D’où x = π/3 ou x = 7π/3.

• On a

π/3 ≤ −π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 1/3 ≤ k ≤ 8/6

comme k ∈ ℤ, alors k = 1. D’où x = 5π/3 .

Donc les solutions de l’équation cos X = 1/2 dans [π/3, 7π/3] sont : π/3 , 5π/3 et 7π/3.

D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation cos (X) < 1/2 est :

]π/3, 5π/3[

Donc

cos (X) ≤ 1/2

⇔ X ∈ ]π/3, 5π/3[

⇔ π/3 < X < 5π/3

⇔ π/3 < x + π/3 < 5π/3  

⇔ 0 < x < 4π/3

⇔ x ∈ ]0, 4π/3[

Ceci signifie que l’ensemble des solutions dans [0, 2π] de l’inéquation proposée est :

S = ]0, 4π/3[ .

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tels que : tan θ = 2 − √3.

1. Soit θ ∈ ]0, π/2[ .

∎ On sait que : sin (2θ) = 2sinθ. cosθ.

On cherche cos θ.

On a

1 + tan²θ = 1/cos²θ

⇔ cos²θ = 1/1+tan²θ

⇔ cos²θ = 1/1+(2−√3)²

⇔ cos²θ = 1/1+4−4√3+3

⇔ cos²θ = 1/4(2−√3)

comme θ ∈ ]0, π/2[ alors cos θ ≻ 0. Donc

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