Arithmétique dans N tronc commun cours

Arithmétique dans N tronc commun cours.

La divisibilité dans l’ensemble ℕ (Arithmétique dans N tronc commun cours)

Notations et vocabulaires

Définition 1

Tous les nombres entiers naturels forment un ensemble qu’on note ℕ appelé l’ensemble des entiers naturels et qui est défini comme suit :

ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

On désigne par ℕ* = ℕ∖{0} l’ensemble des entiers naturels non nuls. ℕ* se lit ℕ privé de zéro.

Exemple 2

3 ∈ ℕ, 0 ∈ ℕ.
−5 ∉ ℕ, 0 ∉ ℕ*.
2,5 ∉ ℕ, 16/5 ∉ ℕ et 16/8 ∈ ℕ.

Les nombres pairs et les nombres impairs (Arithmétique dans N tronc commun cours)

Définition 3

On dit qu’un entier n est un entier pair s’il divisible par 2.
Un entier qui n’est pas pair est un entier impair.

Exemple 4

L’ensemble des entiers naturels pairs peut être écrit comme ceci :

Entiers naturels pairs = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}

L’ensemble des entiers naturels impairs peut être écrit comme ceci :

Entiers naturel impair = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Propriété 5.

Un entier naturel n est pair si et seulement s’il écrit sous la forme

n = 2 × k avec k ∈ ℕ

Un entier naturel n est impair si et seulement s’il écrit sous la forme

n = 2 × k + 1 avec k ∈ ℕ

Exemple 6

Soit n un entier naturel.

Montrer que si n est pair alors n² pair.
Montrer que si n est impair alors n² impair.

Si n est pair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k.

Donc

n² = (2k)²

= 4k²

= 2 × (2k²)

On pose p = 2k² ∈ ℕ, on obtient

n² = 2p

Ceci signifie que n² est pair.

Si n est impair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k + 1.

Donc

n² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k + 1

= 2(2k² + 2k) + 1

On pose p = 2k² + 2k ∈ ℕ, on obtient

n² = 2p + 1

Ceci signifie que que n² est impair.

Propriété 7

La somme de deux entiers naturels de même parité est un entier naturel pair.

(C’est : pair + pair = pair et impair + impair = pair)

Démonstration 8

Soient n et m deux entiers naturels.

On va distinguer deux cas, lorsque n et m sont pairs et lorsqu’ils ont impairs.

1ère cas

Si n est pair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k.
Si m est pair, alors il existe k′∈ ℕ tel que : n = 2k′.

Donc

n + m = 2k + 2k′

= 2( k + k′)

On pose p = k + k′ ∈ ℕ, on obtient

n + m = 2p

Ceci signifie que n + m est pair.

2ème cas

Si n est impair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k + 1.
Si m est impair, alors il existe k′ ∈ ℕ tel que : n = 2k′ + 1.

Donc

n + m = 2k + 1 + 2k′ + 1

= 2(k + k′ + 1)

On pose p = k + k′ + 1 ∈ ℕ, on obtient

n + m = 2p

Ceci signifie que n + m est pair.

Exemple 9

Soit n un entier naturel.

Montrer que n(n + 1) est pair.

Démonstration 10

On va distinguer deux cas, lorsque n est pair et lorsqu’il est impair.

1ère cas

Si n est pair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k.

Donc

n(n + 1) = 2k(2k + 1)

= 4k² + 2k

= 2(2k² + k)

On pose p = 2k² + k ∈ ℕ, on obtient

n(n + 1) = 2p

Ceci signifie que n(n + 1) est pair.

2ème cas

Si n est impair, alors il existe k ∈ ℕ tel que : n = 2k + 1.

Donc

n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2)

= 4k² + 4k + 2k + 2

= 2(2k² + 2k + k + 1)

On pose p = 2k² + 2k + k + 1 ∈ ℕ, on obtient

n(n + 1) = 2p

Ceci signifie que n(n + 1) est pair.

Alors dans tous les cas n(n + 1) est un pair.

Ceci nous permet d’énoncer le résultat suivant :

Le produit de deux entiers successifs (qui se suivent) quelconques est un nombre pair.

Remarque 11

Soit k ∈ ℕ. Les deux nombres k et k + 1 sont successifs donc le produit k(k + 1) est pair.

Exemple 12

Soit n ∈ ℕ. Montrer que A = n² + 3n + 2 est pair.

Diviseurs et Multiples d’un entier (Arithmétique dans N tronc commun cours)

Définition 13

Soient a et b deux entiers naturels. S’il existe un entier naturel k tel que

a = k × b

On dit que

b divise a (ou b est un diviseur de a). On note b ∣ a.
a est un multiple de b.
a est divisible par b.

Exemple 14

7 divise 56 car 56 = 7 × 8. 7 est un diviseur de 56 et 56 est un multiple de 7. On peut écrire 7 ∣ 56.

Remarque 15

0 est un multiple de tous les entiers naturels.
1 est un diviseur de tous les entiers naturels.
Tous les entiers naturels sont divisible par 1 et par eux-mêmes.
Tout entiers naturel non nul a un nombre fini de diviseurs. Pour simplifier les écritures, on notera souvent D(n). L’ensemble des diviseurs de n dans ℕ.

Exemple 16

Les diviseurs de 30 sont : D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Les multiples de 30 sont : M(30) = {0, 30, 60, 90, …} (il y’en a une infinité)

Propriété 17 (La divisibilité par : 2, 3, 5, 9)

Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (c-à-d : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8).
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Propriété 18

Soient a, b et d trois entiers naturels.

Si d est un diviseur commun à a et b avec a > b alors d est également un diviseur de a + b et de a − b.

Généralement, si d divise a et b alors d divise tout nombre de la forme au + bv où u et v sont des entiers naturels.

Démonstration 19

Si d divise a et b alors il existe deux entiers naturels k et k′ tels que

a = kd et b = k′d.

Donc

a + b = kd + k′d = d(k + k′) , a − b = kd − k′d = d(k − k′) et au + bv = kdu + k′dv = d(ku + k′v)

c’est-à-dire

a + b = kd + k′d = d × p , a − b = kd − k′d = d × p′ et au + bv = kdu + k′dv = d × p″

Donc d divise a + b, a − b et au + bv.

Exemple 20

Soit d un entier naturel non nul et on pose a = 3n + 2 et b = n − 3.

Montrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 11.

Soit d un diviseur de a et de b; alors d divise a − 3b.

Par suite,

d divise a − 3b, c-à-d : d divise (3n + 2) −3(n − 3)

c-à-d : d divise 3n + 2 − 3n + 9

c-à-d : d divise 11

Exemple 21

Trouver les entiers n pour lesquels n+15/n+2 est entier naturel.

On simplifier d’abord un peu et on isole la variable n : n + 15 = n + 2 + 13 donc :

n+15/n+2 = n+2+13/n+2 = 1 + 13/n+2

Par suite

n+15/n+2 ∈ ℕ équivaux : 13/n+2 ∈ ℕ

c’est-à-dire si, et seulement si n + 2 est un diviseur de 13.

Les diviseurs de 13 sont : 13 et 1. Il y a donc 2 équations à résoudre

n + 2 = 1 ou n + 2 = 13 ⇔ n = −1 ou n = 11

On obtient :

n ∈ {−1, 11}

Exemple 22

Déterminer les entiers naturels n tels que 2n − 3 divise n + 5.

Si n un entier naturel tel que 2n − 3 divise n + 5 alors 2n − 3 divise aussi 2n + 10 et aussi la différence (2n + 10) − (2n − 3) = 13.

Les diviseurs de 13 sont 1 et 13. On en déduit que n vaut 2 ou 8.

Réciproquement, ces nombres sont tels que : 2n − 3 ∣ n + 5.

On obtient :

n ∈ {2, 8}

Les nombre premiers

Définition et propriétés

Définition 23

Un nombre qui a exactement deux diviseurs est appelé nombre premier. c-à-d n’admet que deux diviseurs 1 et lui même.

Exemple 24

Les nombre premiers inférieurs à 30 sont : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.

Un nombre premier p est un entier naturel supérieur ou égal à 2 soit : p ≥ 2.

Pour la culture, deux nombres premiers consécutif comme 11 et 13, 17 et 19 ou 41 et 43 sont appelés nombres jumeaux.

Théorème 25 (Critère d’arrêt)

Tout entier naturel n, n ≥ 2, admet un diviseur premier.

Si n n’est pas premier, alors il admet un diviseur premier p tel que :

2 ≤ p ≤ √n

Remarque 26

Pour savoir si un nombre n est premier ou non, la recherche de diviseurs peut s’arrêter au dernier entier premier inférieur à √n.

Méthode

Déterminer si un nombre est premier ou non.

391 est-il premier ?

Pour le vérifier, on teste la divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à √391 ∽ 19,8.

Soit 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

Les critères de divisibilités permettant de vérifier facilement que 391 n’est pas divisible par 2, 3 et 5. En vérifiant par calcul pour 7, 11, 13, 17 et 19, on constate que 391 ÷ 17 = 23. On en déduit que 391 n’est pas premier.

Exemple 27

409 est-il premier ?

Théorème 28 (Admis)

Il existe une infinité de nombres premiers.

Décomposition d’un entier

Théorème 29 (Admis)

Tout entier n ≥ 2, peut se décomposer de façon unique en produit de facteurs premiers.

n = p^α1₁ × p^α2₂ × … × p^αn_n , où p_i est premier et α_i ∈ ℕ*.

Exemple 30

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 36 est : 36 = 2² × 3². Mais l’écriture 36 = 4 × 9 n’est pas une décomposition en produit de facteurs premiers.

Méthode.

Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, on effectue des divisions successives par des nombres premiers dans l’ordre croissant. On va décomposer le nombre 882 :

Le plus grands diviseur commun (pgcd)

Définition 31

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle pgcd de a et b le plus grand diviseur commun de a et b, on le note souvent par pgcd(a, b) ou a ∧ b.

Exemple 32

Déterminons pgcd(24, 18).

Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18

Donc les diviseurs communs de 24 et 18 sont : 1, 2, 3, 6. D’où

pgcd(24, 18) = 6

Théorème 33 (Admis)

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Les diviseurs communs de a et b sont exactement les diviseurs de pgcd(a, b) :

d ∣ a et d ∣ b équivaux à : d ∣ pgcd(a, b)

Exemple 34

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Soient x = 7a + 5b et y = 4a + 3b.

Montrer que : pgcd(x, y) = pgcd(a, b).

On revient à la définition du PGCD en montrant que :

pgcd(x, y) ∣ pgcd(a, b) puis pgcd(a, b) ∣ pgcd(x, y)

Pour se simplifier les notations, on pose d = pgcd(a, b) et d′ = pgcd(x, y).

d divise a et b, donc d divise aussi x = 7a + 5b et y = 4a + 3b. On en déduit que d ∣ d′.

De même, si d′ divise 7a + 5b et 4a + 3b alors d′ divise aussi 7(4a + 3b) − 4(7a + 5b) = b et 3(7a + 5b) − 5(4a + 3b) = a. Donc d′∣ d.

Comme d divise d′ et d′ divise d, on a donc d = d′.

Propriétés 35 (Admis)

Le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels a et b est le produit des facteurs premiers communs (dans leurs décomposition en produit de facteurs de premiers) élevé au petit exposant.

Exemple 36

Déterminer : pgcd(1960, 34300).

On a : 1960 = 2³ × 5¹ × 7² et 34300 = 2² × 5² × 7³.

On en déduit que : pgcd(1960, 34300) = 2² × 5¹ × 7² = 980.

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